2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)专题02 函数的概念与基本初等函数I (解析版)

两边取以e为底数的对数，得?aln2?3ln2， 所以?a?3，即a??3．

【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．

14．【2019年高考北京理数】设函数f?x??e?ae（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；

x?x若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________． 【答案】?1???,0?

【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用f?(x)?0可得a的取值范围.

若函数f?x??e?ae为奇函数，则f??x???f?x?,即ex?x?x?aex???ex?ae?x?，

即?a?1?e? ex??x??0对任意的x恒成立，

?x则a?1?0，得a??1.

x?x若函数f?x??e?ae是R上的增函数，则f?(x)? e?ae?0在R上恒成立，

x即a?e2x在R上恒成立， 又e2x?0，则a?0， 即实数a的取值范围是???,0.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性?单调性?利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识?基础知识?基本运算能力的考查.

15．【2019年高考浙江】已知a?R，函数f(x)?ax?x，若存在t?R，使得|f(t?2)?f(t)|?则实数a的最大值是___________. 【答案】

3?2，34 32， 3【解析】存在t?R，使得|f(t?2)?f(t)|?即有|a(t?2)?(t?2)?at?t|?化为|2a3t?6t?4?2|?可得?332， 3?2?2， 322?2a?3t2?6t?4??2?， 33242即?a?3t?6t?4??， 33

由3t2?6t?4?3(t?1)2?1?1，可得0?a?则实数a的最大值是

4. 34. 333【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得|a(t?2)?(t?2)?at?t|?2，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 316．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西

瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．

①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__________． 【答案】①130；②15

【解析】①x?10时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付?60?80??10?130元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y元，

当y?120元时，李明得到的金额为y?80%，符合要求； 当y?120元时，有?y?x??80%?y?70%恒成立， 即8?y?x??7y,x?y， 8?y?因为???15，所以x的最大值为15.

?8?min综上，①130；②15.

【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 17．【2019年高考江苏】设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为

?k(x?2),0?x?1?2，且f(x)是奇函数.当x?(0,2]时，f(x)?1?(x?1)2，g(x)??1，其中k>0.

?,1?x?2??2若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)?g(x)有8个不同的实数根，则k的取值范围是 ▲ .

?12?【答案】?,?? 34??【解析】作出函数f(x)，g(x)的图象，如图：

由图可知，函数f(x)?1?(x?1)2的图象与g(x)??1(1?x?2,3?x?4,5?x?6,7?x?8)2的图象仅有2个交点，即在区间(0，9]上，关于x的方程f(x)?g(x)有2个不同的实数根，

要使关于x的方程f(x)?g(x)有8个不同的实数根，

则f(x)?1?(x?1)2,x?(0,2]与g(x)?k(x?2),x?(0,1]的图象有2个不同的交点，

由(1,0)到直线kx?y?2k?0的距离为1，可得∵两点(?2,0),(1,1)连线的斜率k?|3k|?1，解得k?2(k?0)， k2?141， 312∴?k?， 34?12?综上可知，满足f(x)?g(x)在(0,9]上有8个不同的实数根的k的取值范围为?，??. 34??【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数f(x)，g(x)的图象，数形结合求解是解题的关键因素.

x18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)?2?3x的零点所在的一个区

间是 A．（-2，-1） C．（0,1）

B．（-1,0） D．（1,2）

【答案】B

【解析】易知函数f(x)?2?3x在定义域上单调递增且连续， 且f(?2)?2?2x?6?0，f(?1)?2?1?3?0，f(0)=1>0，

所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是（-1,0）. 故选B.

【名师点睛】本题考查函数的单调性和零点存在性定理，属于基础题.

19．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,??)上单调递减的函数是 A．y?x3 C．y?2|x| 【答案】B 【解析】易知y?ln

B．y?ln1 |x|

D．y?cosx

1|x|，y?2，y?cosx为偶函数， |x|1|x|单调递减，y?2单调递增，y?cosx有增有减. |x|在区间(0,??)上，y?ln故选B.

【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题. 20．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学】设函数f?x????log2?1?x?,x?0?4,x?0x，则f??3??f?log23??

A．9 C．13 【答案】B

【解析】∵函数f?x???

B．11 D．15

?log2?1?x?,x?0?4,x?0log23x，

∴f(?3)?f?log23??log24?4故选B．

=2+9=11．

【名师点睛】本题考查分段函数、函数值的求法，考查对数函数的运算性质，是基础题．