高考数学考前三个月复习冲刺压轴大题突破练2直线与圆锥曲线(二)理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 压轴大题

突破练2 直线与圆锥曲线（二 ）理

x2y23xy451.设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，左顶点M到直线＋＝1的距离d＝，ab2ab5O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值.

3x23xy2.若直线l：y＝－过双曲线2－2＝1 (a>0，b>0)的一个焦点，且与双曲线的一条

33ab渐近线平行. (1)求双曲线的方程；

(2)若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围.

2

2

1

3.(2015·郑州市第二次质量检测)已知平面上的动点R(x，y)及两定点A(－2,0)，B(2,0)，3

直线RA，RB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－，设动点R的轨迹为曲线C.

4(1)求曲线C的方程；

(2)四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQ∥NP，MQ⊥x轴，若直线MN和直线QP交于点S(4,0).问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

2

4.已知抛物线C：x＝2py (p>0)的焦点为F(0,1)，过点F作直线l交抛物线C于A，B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e＝3

. 2

2

(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程；

(2)经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M.证明：AB⊥MF； (3)椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′，M′B′(A′，B′为切点)，使得直线A′B′过点F？若存在，求出抛物线C与切线M′A′，M′B′所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.

3

答案精析

压轴大题突破练2 1.(1)解 由e＝32，得c＝32

a，又b2＝a2－c2

， 所以b＝1

2

a，即a＝2b.

由左顶点M(－a,0)到直线x＋yab＝1， 即bx＋ay－ab＝0的距离d＝45

5，

得

|b－a－ab|452a2＋b2＝5，即aba2＋b2

＝45

5，

把a＝2b代入上式，得

4b2

5b＝

45

5

，解得b＝1. 所以a＝2b＝2，c＝3. 所以椭圆C的方程为x2

2

4＋y＝1.

(2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

①当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1＝x2，y1＝－y2. 因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故→OA·→

OB＝0， 即x2

2

1x2＋y1y2＝0，也就是x1－y1＝0， 又点A在椭圆C上，所以x21

2

4＋y1＝1，

解得|x25

1|＝|y1|＝5

. 此时点O到直线AB的距离d25

1＝|x1|＝5. ②当直线AB的斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝kx＋m，

?y＝kx＋m，与椭圆方程联立有???x2

?4

＋y2

＝1，

消去y，得(1＋4k2

)x2

＋8kmx＋4m2－4＝0， 2

所以xx8km4m－4

1＋2＝－1＋4k2，x1x2＝1＋4k2.

因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OA⊥OB.

4