人教版八年级下数学单元测试矩形知识点及同步练习

八年级下数学

学科：数学 教学内容：矩形

学习目标

1．了解矩形的概念及与平行四边形的关系． 2．掌握矩形的性质及识别方法．

3．能灵活地运用矩形的有关知识的计算和证明． 学法指导

矩形是特殊的平行四边形，平行四边形具有的性质矩形也具有，并且它还具有自己的特殊性．

基础知识讲解

1．矩形的概念

有一个角为直角的平行四边形叫矩形．

由概念可知，矩形首先是平行四边形，只是增加一个角是直角这个特殊条件． 2．矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质． （2）矩形的四个内角是直角．

（3）矩形的对角线相等且互相平分．

（4）矩形即是中心对称图形又是轴对称图形． 3．矩形的识别方法

（1）有一个内角是直角的平行四边形是矩形． （2）对角线相等且互相平分的平行四边形为矩形． 4．矩形的识别方法运用时应注意以下几点

（1）用有一个内角是直角的平行四边形来判定一个四边形是否是矩形时须同时满足两个条件；一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件才是矩形．

（2）用“对角线相等的平行四边形是矩形”来判定一个四边形是否是矩形时也必须满足两个条件：一是对角线相等，二是平行四边形． 重点难点

重点：矩形的定义，性质及识别方法． 难点：矩形的性质及识别方法的灵活运用． 易错误区分析

运用矩形的识别方法来判断四边形是否是矩形时易忽略满足的条件 例1．对角线相等的四边形是矩形，这个结论正确吗？ 错解：这个结论正确 正解：这个结论不正确

分析：对角线相等的平行四边形才是矩形． 典型例题

例1．如图12-2-1所示：已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O，∠AOD=120°，

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AB＝4cm，求矩形对角线长．

分析：注意到矩形的对角线相等且平分这个特性，不难求解． 解∵ABCD为矩形 ∴AC＝BD，且OA=

11AC，OB=BD，∴OA=OB， 22∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60° ∴△AOB为等边三角形

∴OB＝OA＝AB＝4，∴BD＝2OB＝2×4＝8cm．

例2．如图12-2-2所示：□ABCD中AC，BD直交于O，EF⊥BD垂足为O，EF分别交AD，BC于点E，F，且AE=EO=

1DE. 2

求证：□ABCD为矩形

分析：观察给出的已知图象的特征，要证□ABCD为矩形，显然只要证AC＝BD即可，若Rt△DOE的斜边上的中线OM，易证△AOE≌△DOM，∴OA＝OD问题得证．

证明：取DE的中点M，连结OM，

∴在Rt△DOE中，OM=∴OE=AE=

1DE=DM， 21DE，∠OME=∠OEA 2∴OM＝OE，DM＝AE，∠OMD＝∠OEM， ∴△OMD≌△OEA，∴OA=OD， 在□ABCD中，∵OA=

11AC，OD=BD， 22∴AC＝BC ∴□ABCD为矩形．

例3．已知：如图所示，E是已知矩形ABCD的边CB延长线上的一点，CE＝CA，F是AE的中点．求证：BF⊥FD

分析：由于CE＝CA，F是AE的中点，若连结CF，则CF⊥AE．所示∠AFC＝90°.所以要证BF⊥FD，只须再证∠CFB＝∠AFD．易知，只要证△AFD≌△BCF．

证法一：连结CF．因为CE＝CA，F是AE中点，所以CF⊥AE．

所以∠AFD+∠DFC＝90°，因为四边形ABCD为矩形，所以AD＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°. 又∵F是Rt△ABE斜边BE的中点，所以BF＝AF，所以∠FAB＝∠FBA，所以∠FAD=∠FBC．所

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以△FAD≌△FBC．所以∠CFB=∠AFD，所以∠CFB+∠DFC＝90°，即BF⊥FD．

证法二：如图所示：延长BF交DA延长线于点G，连结BD．因为四边形ABCD是矩形，所以ADBC，AC＝BD，所以∠AGF＝∠EBF，∠GAF=∠BEF．因为F是AE的中点，所以AF＝FE．所以△AGF≌△EBF所以GF＝BF，AG＝BE．所以GD＝EC．因为CA＝CE，CA＝BD，所以BF⊥DF.

例4．已知如图：矩形ABCD中，E为CD的中点．求证：∠EAB＝∠EBA．

分析：证角相等．若两角在同一个三角形中，可证三角形为等腰三角形． 证明：∵四边形ABCD为矩形 ∴∠D＝∠C＝90°，AD＝BC

∵E为DC的中点，∴△ADE≌△BCE ∴AE＝BE ∴∠EAB=∠EBA．

例5．如图：已知矩形ABCD中，CF⊥BD于F，∠DAB的平分线AE与FC的延长线相交于点E，判断CA与CE的大小关系，并说明理由．

分析：要判断CA与CE的大小关系，如果能证到∠EAO＝∠E即可得CA＝CE 解：OA＝CO

过点A作AM⊥DB，可得AM∥EF，∠MAE＝∠E ∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO ∴∠EAO＝∠E ∴CE=CA 创新思维

例1．如图所示△ABC是直角三角形，∠C＝90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画两个：矩形ACBD和矩形AEFB．

解答问题 （1）设图（2）中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1 S2.（填“＞”“＜”“＝”）

（2）如图（3）中△ABC为钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的

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矩形可以画 个，利用图（3）把它画出来．

（3）过图（4）△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画 个，利用图（4）把它画出来．

（4）在（3）中所画的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？ 分析：本题主要考查矩形的性质和计算． 解：（1）如图甲过点C作CG⊥AB于G，则CG=AE．

∵S1=2S△ABC=2×

1×AB·CG=AB·CG，S2=AE·AB=CG·AB ∴S1=S2 2（2）有2个如图乙

（3）有3个如图丙

（4）设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC＝a，AC＝b，AB＝c．易知，这些矩形的面积相等，令其面积为S，则有

2s2s2s?2a，L2=+2b，L3+2c， abc2a2sab?s∵L1-L2=+2a-（，而ab﹥s，a﹥b ?2b）=2（a-b）

sbabL1=

∴L1-L2﹥0，即L1﹥L2.

同理L2＞L3．

∴以AB为边的矩形周长最小．

例2．如图△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角线于点F.（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．

分析：先证∠OCE＝∠OEC就有EO＝CO，同理有FO＝CO，即有EO＝FO．

当0运动到AC的中点时，四边形AECF对角钱互相平分．∠EcF＝90°.则四边形AECF为矩形．

证明：（l）∵MN∥BC，∴∠1=∠3 又∵CE为∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠2，∴∠2=∠3，∴OE＝OC，同理可证OF＝OC，∴OE=OF

（2）当O运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，因为AO＝OC，OE＝OF.

解：由矩形的特征，AC＝EF，由AE∥CF，CE∥AF知BECD是平行四边形，故AE＝CF，从而AC＝FE． 中考练兵

1．如图所示，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上BF∥DF，若AD＝12cm，AB＝7cm，且AE：EB=5：2，则阴影部分的面积为 .

分析：由已知可判断四边形EBFD是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知