2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷（四川 理）含详解

1?1??1??11??1?1?2??1??????????????????

?2??23??k?1k??m?1m?1?3??3

m?1?k?1?又因Cm，故?0k?2,3,4,?,m2??????1???3

?m??m?n?1??1?∵2??1???3，从而有2n???1???3n成立，

k??m?k?1?mkkm?1?即存在a?2，使得2n???1???3n恒成立。

k?k?1?

nk2007年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学(含详细

解析)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1、复数

1?i3?i的值是（ ） 1?i（B）1

（C）?1

（D）i

（A）0

1?i3(1?i)22i解析：选A．?i??i3??i3?i?i?0．本题考查复数的代数运算．

1?i(1?i)(1?i)2?x?12、函数f(x)?1?log2x与g(x)?2在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）

解析：选C．注意 g(x)?2平移法则．

?x?1?2?(x?1)

的图象是由y?2的图象右移1而得．本题考查函数图象的

?xx2?1?（ ） 3、lim2x?12x?x?112 （D） 2302x2(x?1)(x?1)x?12?．?lim?或原式?lim解析：选D．本题考查型的极限．原式?lim

x?14x?1x?1(x?1)(2x?1)x?12x?10334、如图，ABCD?A的是（ ） 1BC11D1为正方体，下面结论错误．．

（A）0 （B）1 （C）（A）BD//平面CB1D1 （B）AC1?BD （C）AC1?平面CB1D1

（D）异面直线AD与CB1所成的角为60?

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解析：选D．显然异面直线AD与CB1所成的角为45?．

x2y2??1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（ ） 5、如果双曲线

424626（A） （B） （C）26 （D）23 33解析：选A．由点P到双曲线右焦点(6,0)的距离是2知P在双曲线右支上．又由双曲线的第二定

义知点P到双曲线右准线的距离是2626，双曲线的右准线方程是x?，故点P到y轴的距离是3346． 36、设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离

??都是，且二面角B?OA?C的大小是，则从A点沿球面经B、C两点再回到A23点的最短距离是（ ）

5?4?3? （C） （D） 432??CA????????4?．本题考查球面距离． AB?BC解析：选C．d??2323????????????7、设A(a,1)，B(2,b)，C(4,5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若OA与OB在OC方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（ ）

（A）4a?5b?3 （B）5a?4b?3 （C）4a?5b?14 （D）5a?4b?14

????????????????????????????解析：选A．由OA与OB在OC方向上的投影相同，可得：OA?OC?OB?OC即 4a?5?8?5b，

4a?5b?3．

8、已知抛物线y??x2?3上存在关于直线x?y?0对称的相异两点A、B，则AB等于（ ）

（A）

（B）

（A）3 （B）4 （C）32 （D）42 7? 6?y??x2?3解析：选C．设直线AB的方程为y?x?b，由??x2?x?b?3?0?x1?x2??1，

?y?x?b1111进而可求出AB的中点M(?,??b)，又由M(?,??b)在直线x?y?0上可求出b?1，∴

2222x2?x?2?0，由弦长公式可求出AB?1?1212?4?(?2)?32．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．

9、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的

23倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为（ ）

（A）36万元 （B）31.2万元 （C）30.4万元 （D）24万元

解析：选B．对甲项目投资24万元，对乙项目投资36万元，可获最大利润31.2万元．因为对乙项目投资获利较大，故在投资规划要求内（对项目甲的投资不小于对项目乙投资的资金投资于乙项目，即对项目甲的投资等于对项目乙投资的

2倍）尽可能多地安排32倍时可获最大利润．这是最优解法．也3可用线性规划的通法求解．注意线性规划在高考中以应用题型的形式出现．

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10、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）

（A）288个 （B）240个 （C）144个 （D）126个

解析：选B．对个位是0和个位不是0两类情形分类计数；对每一类情形按“个位－最高位－中间三

3位”分步计数：①个位是0并且比20000大的五位偶数有1?4?A4②个位不是0并且比20000?96个；3大的五位偶数有2?3?A4?144个；故共有96?144?240个．本题考查两个基本原理，是典型的源

于教材的题目．

11、如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则⊿ABC的边长是（ ）

46 3317221（C） （D）

43解析：选D．过点Ｃ作l2的垂线l4，以l2、l4为x轴、y轴建立平面直角坐标系．设A(a,1)、B(b,0)、

（A）23 （B）

?C(0,?2)，由ABB?C知(a?b)2?1?b2?4?a2?9?边长2，检验

A：

(a?b)2?1?b2?4?a2?9?12，无解；检验B：(a?b)2?1?b2?4?a2?9?D：(a?b)?1?b?4?a?9?22232，无解；检验328，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，3在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．

12ax?bx?1，其中a为2、4、6、8中任取的一个数，b为1、3、5、7中2任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x?1交点处的切线相互平行的概率是

12、已知一组抛物线y?（ ）

1765 （B） （C） （D） 121660252解析：选B．这一组抛物线共4?4?16条，从中任意抽取两条，共有C16?120种不同的方法．它们

（A）

在与直线x?1交点处的切线的斜率k?y'|x?1?a?b．若a?b?5，有两种情形，从中取出两条，有

22种取法；若a?b?7，有三种情形，从中取出两条，有C3种取法；若a?b?9，有四种情形，C222从中取出两条，有C4种取法；若a?b?11，有三种情形，从中取出两条，有C3种取法；若a?b?13，2有两种情形，从中取出两条，有C2种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有22222C2?C3?C4?C3?C2?14种，故所求概率为

7．本题是把关题． 60

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分；把答案填在题中的横线上．

13、若函数f(x)?e?(x??)（e是自然对数的底数）的最大值是m，且f(x)是偶函数，则m???________．

解析：m?1，n?0，∴m???1．

14、在正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是____________

213，∴sin??，??30?．

2222?O'的方程是x2?y2?8x?10?0，15、已知?O的方程是x?y?2?0，由动点P向?O和?O'解析：BC1?3，点B到平面ACC1A1的距离为第11页（共12页）

所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是__________________ 解析：?O：圆心O(0,0)，半径r?线长相等得

2；?O'：圆心O'(4,0)，半径r'?6．设P(x,y)，由切

3． 2x2?y2?2?x2?y2?8x?10，x?16、下面有5个命题：

①函数y?sin4x?cos4x的最小正周期是?．

k?,k?Z}． 2③在同一坐标系中，函数y?sinx的图象和函数y?x的图象有3个公共点．

??④把函数y?3sin(2x?)的图象向右平移得到y?3sin2x的图象．

36②终边在y轴上的角的集合是{?|??⑤函数y?sin(x??2)在[0,?]上是减函数．

其中，真命题的编号是___________（写出所有真命题的编号）

解析：①y?sin4x?cos4x?sin2x?cos2x??cos2x，正确；②错误；③y?sinx，y?tanx和

y?x在第一象限无交点，错误；④正确；⑤错误．故选①④．

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