范德蒙德行列式的研究与应用

重庆科技学院本科生毕业设计 4 范德蒙德行列式的引理和定理

引理4.1.2

1a1???a1m1?1a1m1?1????a1m2?1a1m1?1???1???a2?????????m1?1a2???m1?1a2?????????m2?1a2???m2?1a2???1an???m1?1anm1?1an?n?m1?n?1?m1????n?i?1?m1????n?m2?n?1?m2????n?i?1?m2m2?1an??Dn

????????????m2?1an?n?mi?n?1?mi????n?i?1?mi???mi?1anmi?1an???n?i?1an?Dnm1,m2,...,mi???????mi?1a1mi?1a2???mi?1a1mi?1a2????????????n?i?1a1n?i?1a2???其中有，0?m1?m2?...?mi?n?i?2,?p?0?p?n?表示a1,a2,...,an中所有可能的p个数的乘积的和。

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重庆科技学院本科生毕业设计 4 范德蒙德行列式的引理和定理

定理4.1.3

1a1???a1m1?1a1m1?1???a1m1?1a1m1?1????1???a2?????????m1?1a2???m1?1a2?????????m1?1a2???m1?1a2?????????1an???m1?1anm1?1an???m1?1anm1?1an????Dnm1,m2,...,mi?1,mi?mi?1?1mi?1?1a1mi?1?1a2???anmi?1?1mi?1?1a1mi?1?1a2???an????????????

a1mi?1b1a1mi?1???a1n?i?2nmi?1a2???b2???mi?1a2???mi?1anbnmi?1an?????????n?i?2n?i?2a2???an?nj?m?1?nj?m11????nj?m1?i?2????nj?m2?i?2??????????nj?mi?i?2???1?n?mi?i?Dn??j?1bjf?aj?'??nj?m?1?nj?m22???????nj?m?1i?nj?mi'其中有，0?m1?m2?????mi?n?i?2，f?aj?是表示多项式函数

f?x??1?i?n??x?a?的一阶导函数在x?aj处的值，??0?p?n?1,1?ijpj?n?表示

除了aj外的n?1个数a1，a2，aj?1，aj?1，...，an中的所有可能的p个数的乘积的和。 证明： 把DnDn?m1,m2,...,mi?1,mi?按照mi?i?2行展开来，得到

mi?j?i?2?m1,m2,...,mi?1,mi?????1?j?1n?bj?Dnn?1?m1,m2,...,mi?1,mi??a,a,...,a12j?1,aj?1,...,an?

由引理4.1.1和引理4.1.2可以知道

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重庆科技学院本科生毕业设计 4 范德蒙德行列式的引理和定理

?1Dn?1m,m2,...,mi?1,mi??a,a,...,a1212j?1,aj?1,...,an??nj?m?1?nj?m1????nj?m1?i?2????nj?m2?i?2?Dn?1?a1,a2,...,aj?1,aj?1,...,an???nj?m?1?nj?m2?????????????jjn?mi?1?n?mi????jn?mi?i?2?jn?m1?1?jn?m1????jn?m1?i?2n?jjj???1??Dn?n?m????jn?m?2?1?n?m2?i?2f'a?2j??????????????jjn?mi?1?n?mi????jn?mi?i?2故而有

?jn?m1?1?jn?m1nD?m1,m2,...,mi?1,mi?bjj?m2?1?jn?m2n???1?n?mi?i?Dn??j?1f'?a??nj????????jjn?mi?1?n?mi

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????jn?m1?i?2????jn?m2?i?2??????

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5 总结

首先明确什么是范德蒙德行列式。 了解范德蒙德行列式的证明过程。然后探讨它在向量空间理论、线性变换理论、多项式理论中以及行列式计算中的应用。在向量空间理论中，对范德蒙德行列式应用于n阶行列式的计算进行探讨，通过转化就会比较容易的就能够得到所需要的结论的方法进行探讨。 在线性变换中巧妙的使用范德蒙德行列式的方法进行探讨。我们会经常遇到需要用范德蒙德行列式转化的问题，在多项式理论中利用范德蒙德行列式涉及到求根方法进行探讨。

本文只是对范德蒙德行列式的初步探讨与研究。 以此作为相应的理论基础，我们可以进而研究范德蒙德行列式的其它性质和应用，推广到其它方面的应用。

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