范德蒙德行列式的研究与应用

重庆科技学院本科生毕业设计 2 问题分析

2 问题分析

明确范德蒙德行列式的形式，了解范德蒙德行列式的证明过程，最后探讨范德蒙德行列式在向量空间理论，线性变换理论，行列式计算及微积分中的应用。

在向量空间理论中，当遇到需要应用范德蒙德行列式转化的问题，通过转化，就会得到所需结论。在线性变换中巧妙使用范德蒙德行列式的方法进行讨论。对范德蒙德行列式应用于n阶行列式的计算进行探讨。将范德蒙德行列式应用到多项式理论中的求根问题上。

具体内容如下：

（1）探讨范德蒙德行列式算法、推广；

（2）简要的介绍相关向量空间理论、线性变换理论、微积分基本原理； （3）利用范德蒙德行列式把给定行列式化成标准形式； （4）范德蒙德行列式的应用。

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重庆科技学院本科生毕业设计 3 问题求解

3 问题求解

3.1范德蒙德行列式的定义以及它的计算方法

当行列式的形式为

1b1D?b121b2b221b3b321 bn2bnn?1bnn?1b1n?1b2b3n?1时，就被称为n阶的范德蒙德行列式。

证明n阶范德蒙德行列式等于b1，b，b3，…，bn这n个数的所有可能的差

2的乘积是：bi?bj(1?j?i?n)，对任意的n ?n?2?。

我们对n可以用数学归纳法进行计算。 当n?2时，

11b1b2?b2?b1结果明显是对的。假设对于n?1阶的范德蒙德

行列式的结论同时也都是成立的，现在来看n阶的情况是什么样的。

在

1111 b1b2b3bn2D?b12b22b32bnn?1b1n?1b2b3n?1n?1bn中，我们可以从最后一行开始依次地让每一行减去它上一行的b1倍，即第n行减第n?1行的b1倍，第n?1行减第n?2行的b1倍，有

101b2?b12b2?b1b21b3?b1b32?b1b31bn?b12bn?b1bn

D?0

0b2n?1?b1b2n?1b3n?1?b1b3n?2n?1n?2bn?b1bn

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b2?b1?2b2?b1b2b3?b1b32?b1b3bn?b12bn?b1bnn?1n?1b2?b1b2b3n?1?b1b3n?2n?1n?2bn?b1bn1b2?(b2?b1)(b3?b1)(bn?b1)b22n?2b21b3b32b3n?21 bn2bn

一个n?1阶的范德蒙德行列式就是后面这个行列式，它就是等于所有可能的差bi?bj(2?j?i?n)的乘积，就是应用数学归纳假设；在前面出现了包含b1的差。因此，结论对于n阶范德蒙德行列式也都是成立。应用数学归纳法，我们完成了它的证明。

用连乘号，这个结果可以被简写为：

1111b1b2b3bn22b12b2b32bn??(bi?bj)

1?j?i?nn?1b1n?1b2b3n?1n?1bnn?2bn由这个结果得到的结论是：范德蒙德行列式为零的充要条件是在b1，b2，

b3，…，bn，这n个数中至少有两个数相等。

3.2范德蒙德行列式的化简

将所给的行列式化成范德蒙德行列式，再应用这个结果来进行相应的计算是范德蒙德行列式的特点。

经常应用的化法有以下几种：

如果要应用行列式的性质，那就是题中给出了行列式各列或者各行都是某个元素的不同次幂。因为幂次数的排列与范德蒙德行列式不完全相同（如拆项、调换各行或各列的次序、提取公因式的方法等等）将行列式化简成为范德蒙德行列式。 例：计算

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1Dn?1???1222332nn2???2n???3n???nn

解： Dn中的每行元素全都分别是一个数的自左向右的按照递升的顺序经行排列，但不是从0变到n?1，而是从1递升到n，例如提取每行的提取每行的公因数则方幂次数便从0变到n?1

111???11222???2n?1Dn?1332???3n?1?n!?2?1??3?1????(n?1)(3?2)???(n?2)?????n??n?1???????????????1nn2?n!(n?1)!(n?2)!???2!1!??????nn?1

an例：计算 Dn?1(a?1)???(a?n)nan?1????a1?a?1????(a?n)n?1????????? a?1???a?n1???1n?1解：为了Dn?1中的每列元素的方幂的次数从第一行开始按照顺序的递升排列，因为范德蒙德行列式的排列规律与题目中的行列式的排列规律是相反的，将第n?1行依次的与上一行进行交换，直至交换到第一行，第n行依次的与上一行进行交换，直至第二行……第二行依次的与上一行交换，直至第n行，于是共经历过得到了n?1阶的范德蒙n(n?1)次行的进行交换，

n?(n?1)?(n?2)????????2?1?2德行列式：

Dn?1???1?n(n?1)21a???an?1an1a?1???(a?1)n?1(a?1)???1???a?n?????????(a?n)n?1???(a?n)n?(?1)n(n?1)2(a?1a)nk?1(a?2?a)???(a?n?a)?a?2?(a?1)?????a?n?(a?(a?1))???K!

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