高数上册

??f(cosx)dx; ??xsinx??(2) ?xf(sinx)dx??f(sinx)dx, 由此计算 ?dx.

21?cosx(1)

0?/2f(sinx)dx??/200002例9 计算arcsinxdx. 例10 计算定积分

0?1/2??/40xdx.

1?cos2x例11 求

??/20x2sinxdx 例12 计算

?e?x1?2x?11/22ln2dx.

例13 计算定积分

?e2|lnx|xe?2dx. 例14 已知

2dte?1t??6, 求x.

例15 已知f(x)满足方程f(x)?3x?1?x例16 导出In??f012(x)dx,求f(x).

??/20sinnxdx(n为非负整数)的递推公式.

例17 利用上题结论计算例18 求函数I(x)???0cos5?2dx.

x?1t(1?2lnt)dt在[1,e]上的最大值与最小值.

课堂练习

1.计算定积分

?|sin?|d?.

??/2(1?2rcos??r2)2?/22.设f??(x)在[0, 1]上连续, 且f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5,求

?xf??(2x)dx.

01第五节 广义（反常）积分

内容要点

一、无穷限的广义积分

???a?f(x)dx?F(x)|?a?F(??)?F(a)

?b??f(x)dx?bF(x)|b???F(b)?F(??)

b??????f(x)dx?F(x)|????F(??)?F(??)

二、无界函数的广义积分

?af(x)dx?lim???0a???bf(x)dx

???af(x)dx?lim???0a?b??f(x)dx.

??例题选讲

例1 计算广义积分

?0edx. 例2 判断广义积分sinxdx的敛散性.

0?x?dx例3计算广义积分. 例4 计算广义积分

??1?x2??????2/?11sindx.

xx2例5计算广义积分

???0te?ptdt(p是常数, 且p?0时收敛).

a1dx的敛散性. 例7 计算广义积分(a?0). dxp?220xa?x例6 讨论广义积分

???1例8 计算广义积分 例10 计算广义积分

??213dx. 例9 讨论广义积分xlnx?101dx的敛散性. qx0??dxdx? 例11 计算广义积分?0x(x?1)3. (x?1)2/3例12 计算广义积分

?1arcsinx0x(1?x)dx 例13 计算

???dxx1?x?x5101.

课堂练习

1. 计算广义积分

???1xlnxdx; 2. 判断广义积分

(1?x2)2?lnxdx的瑕点. 0x?11第六章 定积分的应用

第一节 定积分的微元法

内容要点

在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：

一、由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]，任取[a,b]的一个区间微元[x,x?dx]，求出相应于这个区间微元上部分量?U的近似值，即求出所求总量U的微元 dU?f(x)dx；

二、由微元写出积分 根据dU?f(x)dx写出表示总量U的定积分

U??dU??f(x)dx

aabb应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：

（1） 所求总量U关于区间[a,b]应具有可加性，即如果把区间[a,b]分成许多部分区间, 则U相应地分成许多部分量, 而U等于所有部分量?U之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;

（2）使用微元法的关键是正确给出部分量?U的近似表达式f(x)dx，即使得f(x)dx?dU??U. 在通常情况下，要检验?U?f(x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用要注意dU?f(x)dx的合理性.

第二节 平面图形的面积

内容要点

一、直角坐标系下平面图形的面积

bbbA??f(x)dx A??|f(x)|dx A??[f(x)?g(x)]dx.

aaa 二、极坐标系下平面图形的面积

设曲线的方程由极坐标形式给出 r?r(?) (?????)，则由曲线r?r(?)，射线???和????11所围成的曲边扇形的面积微元dA?[r(?)]2d?，所求曲边扇形的面积A??[?(?)]2d?.

?22例题选讲

例1 求由y?x和y?x所围成的图形的面积. 例2 求由抛物线y?1?x与直线y?1?x所围成的面积. 例3 求由y?2x和y?x?4所围成的图形的面积. 例4 计算由曲线y?x3?6x和y?x2所围成的图形的面积。

2222x2y2例5求椭圆2?2?1所围成的面积.

ab例6求双纽线?2?a2cos2?所围平面图形的面积.

例7 求心形线r?a(1?cos?)所围平面图形的面积(a?0). 例8 求出

x2a2?y2b2?1和

x2b2?y2a2?1的图形的公共部分的面积（其中a?b?0）.

课堂练习

3?3??和直线x??及x轴所围成的平面图形的面积. ?22??2.求由曲线xy?1及直线y?x,y?3所围成的平面图形的面积.

3.计算阿基米德螺线??a?,(a??)上相应于?从0变到2?的一段弧与极轴所围成的图形的

1.求正弦曲线y?sinx,x??0,面积

第三节 体积

内容要点

一、旋转体的体积

体积微元dV??[f(x)]2dx, 旋转体的体积V???[f(x)]2dx.

ab 二、平行截面面积为已知的立体的体积

体积微元dV?A(x)dx, 所求立体的体积 V??A(x)dx.

ab例题选讲

例1 求底半径为r,高为h的正圆锥体的体积.

x2y2例2 计算由椭圆2?2?1围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积.

ab2/3例3 求星行线 x?y2/3?a2/3(a?0)绕x轴旋构成旋转体的体积.

例4 计算由连续曲线x??(y)、直线y?c、y?d及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而

成的立体的体积.

例5 求曲线xy?4,y?1,x?0所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.

例6 求由曲线y?4?x及y?0所围成的图形绕直线x?3旋转构成旋转体 的体积.

例7 平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角?（图6-3-9），计算这平面截圆柱体所得立体的体积.

例8 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.

2课堂练习

1. 求由曲线y?x, y?2?x所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积. 2. 求由曲线xy?a(a?0)与直线x?a,x?2a及y?0所围成的图形绕y?1旋转一周所生成的旋转体的体积.

22第四节 平面曲线的弧长

内容要点

一、平面曲线弧长的概念 二、平面曲线的弧长的计算

2直角坐标情形：y?f(x)x?[a,b]，弧长微元（弧微分）ds?1?y?dx，所求光滑曲线的弧

长s??ba1?y?2dx (a?b)

?x??(t),(??t??)，弧长微元ds?(dx)2?(dy)2???2(t)???2(t)dt,

?y??(t)参数方程情形：?所求光滑曲线的弧长 s??????2(t)???2(t)dt.

极坐标情形：r?r(?)(?????), 弧长微元

ds?(dx)2?(dy)2?r2(?)?r?2(?)d?,

所求光滑曲线的弧长 s????r2(?)?r?2(?)d?.

例题选讲

22例1 求曲线y?x上相应于x从a到b的一段弧的长度.

3例2 两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量，下垂成曲线形. 这样的曲线叫悬链线. 适当选取坐标系后，悬链线的方程为y?kcosh一段弧的长度.

3x, 其中k为常数. 计算悬链线上介于x??b与x?b之间k例3求圆x?y?R的周长.

例4 求星形线x?acost,y?asint的全长.

33222?x?a(t?sint) (a?0,0?t?2?)一支的弧长.

?y?a(1?cost)例6 证明正弦线y?asinx(0?x?2?)的弧长等于椭圆

x?cost?(0?t?2?)的周长. ?2y?1?asint?例5 求摆线 ????例7 求极坐标系下曲线r?a?sin?(a?0,0???3?)的长.

3??例8 求心形线r?a(1?cos?)的全长. 课堂练习

1.计算曲线y?3?xn0nsinxdx的弧长(0?x?n?).

2.求阿基米德螺线r?a? (a?0)上相应于?从0到2?的弧长.

第五节 功 水压力和引力

内容要点

一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力

例题选讲

例1 设40牛的力使弹簧从自然长度10厘米拉长成15厘米, 问需要作多大的功才能克服弹性恢复力, 将伸长的弹簧从15厘米处再拉长3厘米?

例2 把一个带?q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方, 那么电场对它的作用力的大小为

q(k是常数). 2r如图6-5-2所示，当这个单位正电荷 在电场中从 r?a处沿r轴移动到r?b处时, 计算电场力F对

F?k它所作的功.

例3 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到b处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功.

例4 一圆柱形蓄水池高为5米, 底半径为3米, 池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出, 需作多少功?

例5 设有一直径为20m的半球形水池, 池内贮满水, 若要把水抽尽, 问至少作多少功. 例6 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水, 设桶的底半径为R, 水的 比重为?, 计算桶的一端面上所受的压力.

例7 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，求薄板所受的侧压力.

例8 假设有一长度为l、线密度为?的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处 有一质量为m的质点M，试计算该棒对质点M的引力.

例9 计算半径为a, 密度为?,均质的圆形薄板以怎样的引力吸引质量为m的质点P. 此质点位于通过薄板中心Q且垂直于薄板平面的垂直直线上, 最短距离PQ等于b.

课堂练习

1.有一圆台形的桶, 盛满了汽油, 桶高为3米, 上、下底半径分别为1米及2米, 试求将桶内汽油全部吸尽所需作的功(汽油密度??800千克/米)

2.一矩形水闸门, 宽20米, 高16米, 水面与闸门顶齐, 求闸门上所受的总压力.

3第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念