高数上册

例5 求lim?x?0???lnxlncotx. 例6 求 limn(n?0).??

x???xlnx???xn???例7 求 lim?x??? (n为正整数, ??0).

x???e???3x?sin3xtanx?x例8 求lim2. . 例9 求limx?0(1?cosx)ln(x?0xtanx1?2x)1x2sinx. 例11 求 limx?2ex. (0??型) 例10 求 limx???x?0sinx1??1例12 求 lim(secx?tanx). 例13 求 lim???.(???).

?x?0?sinxx?x?2例14求lim[(2?x??x?01x)ex?1??x].(???) 例15 求lim?1??.

x??x??x??0xx例16 求limx. (00) 例17 求 limxtanx. (00)

例18

1求limx1?x.(1?)x?1sinx1?cosx? 例19 求lim().(1型)

x?0x??x?01(cotx)lnx1例20 求lim(cosx)x.(1) 例21 求 lim?x??0. (?0型)

例22 求lim(e3x?5x)x.(?0)

x???1课堂练习

1. 设f(x)有一阶导数,f(0)?f?(0)?1, 求lim 2. 设limx?0f(sinx)?1.

lnf(x)f(x)f?(x)f(x)是未定式极限, 如果的极限不存在且不为?, 是否的极限也一定不

g(x)g(x)g?(x)

存在? 举例说明.

第三节 泰勒公式

内容要点

一、问题：设函数f(x)在含有x0的开区间(a, b)内具有直到n?1阶导数, 问是否存在一个n次多项

式

函

数

pn(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n使得

f(x)?Pn(x), 且误差Rn(x)?f(x)?pn(x)是比(x?x0)n高阶的无穷小,并给出误差估计的具体表达式.

二、泰勒中值公式

f(n)(x0)f??(x0)2(x?x0)n?Rn(x) f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???n!2!f(n?1)(?)(x?x0)n?1 拉格朗日型余项 Rn(x)?(n?1)!皮亚诺形式余项 Rn(x)?o[(x?x0)n]. 带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x?o(xn)

2!n!从公式(3.11)或 (3.12)可得近似公式

f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x???x

2!n!M误差估计式(3.8)相应变成|Rn(x)|?|x|n

(n?1)!例题选讲

例1 写出函数f(x)?x3lnx在x0?1处的四阶泰勒公式. 例2 求f(x)?ex的n阶麦克劳林公式.

1 在x?1的泰勒展开式. 3?x例5 求函数 f(x)?xex的n阶麦克劳林公式. 例6 求lncosx的到x6麦克劳林展开式.

例3 求f(x)?sinx的n阶麦克劳林公式. 例4 求 y?ex?2cosx?3例7 计算 lim. 4x?0x2课堂练习

exsinx?x(1?x)利用泰勒公式求极限lim. 3x?0x第四节 函数单调性、凹凸性与极值

内容要点

一、函数的单调性：设函数y?f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.

(1) 若在(a, b)内f?(x)?0, 则函数y?f(x)在[a, b]上单调增加; (2) 若在(a, b)内f?(x)?0, 则函数y?f(x)在[a, b]上单调减少.

二、曲线的凹凸性：设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内具有一阶和二阶导数, 则

(1) 若在(a, b)内，f??(x)?0,则f(x)在[a, b]上的图形是凹的; (2) 若在(a, b)内，f??(x)?0,则f(x)在[a, b]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数f??(x)；

(2) 令f??(x)?0，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点；

(3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧f??(x)的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点.

四、函数的极值

极值的概念；极值的必要条件；第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤：

（1） 确定函数f(x)的定义域，并求其导数f?(x);

（2） 解方程f?(x)?0求出f(x)的全部驻点与不可导点;

（3）讨论f?(x)在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数f(x)的全部极值.

例题选讲

例1 讨论函数y?ex?x?1的单调性. 例2 讨论函数y?3x2的单调区间. 例3确定函数f(x)?2x3?9x2?12x?3的单调区间. 例4求函数y??3(2x?a)(a?x)2(a?0)的单调区间.

例5 当x?0时， 试证x?ln(1?x)成立. 例6 试证明：当x?0时, ln(1?x)?x?例7 证明方程x5?x?1?0在区间(?1,0)内有且只有一个实根.

x例 8 证明方程lnx??1在区间(0,??)内有两个实根.

e3例9 判定 y?x?ln(1?x)的凹凸性. 例10 判断曲线y?x的凹凸性. 例11求曲线y?3x4?4x3?1的拐点及凹、凸区间.

例12 求曲线 y?sinx?cosx(x?(0,2?))的拐点. 例13 求函数y?a2?3x?b的凹凸区间及拐点.

例14求出函数f(x)?x?3x?9x?5的极值.

3212x. 22例15 求函数f(x)?(x?4)3(x?1)的极值.

32/3x的单调增减区间和极值. 232例17求出函数f(x)?x?3x?24x?20的极值.

例16 求函数 f?x??x?例18 求函数f(x)?(x?1)?1的极值 例19 求出函数 f(x)?1?(x?2)2/3的极值.

23课堂练习

1. 若f?(0)?0, 是否能判定f(x)在原点的充分小的领域内单调递增?

2.设函数f(x)在(a,b)内二阶可导, 且f??(x0)?0,其中x0?(a,b), 则(x0,f(x0))是否一定为曲线f(x)的拐点?举例说明.

第五节 数学建模——最优化

内容要点

一、求函数的最大值与最小值

在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题.

求函数在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：

（1）计算函数f(x)在一切可能极值点的函数值，并将它们与f(a),f(b)相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；

（2） 对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.

二、对抛射体运动建模 三、光的折射原理 四、在经济学中的应用

例题选讲

例1 求y?2x?3x?12x?14的在[?3,4]上的最大值与最小值.

????例2 求函数y?sin2x?x在??,?上的最大值及最小值.

?22?例3 设工厂A到铁路线的垂直距离为20km, 垂足为B. 铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C, 如图3-5-4. 现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站, 再由车站D向工厂修一条公路. 如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为3:5, 那么, D应选在何处, 才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?

例4某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月180元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加10元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?

32x2y2例5 求内接于椭圆2?2?1而面积最大的矩形的各边之长.

ab例6 由直线y?0,x?8及抛物线y?x2围成一个曲边三角形, 在曲边y?x2上求一点, 使曲线在

该点处的切线与直线y?0及x?8所围成三角形面积最大.

2??n?2n?12??例7 求数列{an}???的最大项(已知23e?37). n??e??例8 在地面上以400m/s的初速度和?3的抛射角发射一个抛射体. 求发射10秒后抛射体的位置.

例9在1992年巴塞罗那夏季奥运会开幕式上的奥运火炬是由射箭铜牌获得者安东尼奥·雷波罗用一枝燃烧的箭点燃的,奥运火炬位于高约21米的火炬台顶端的圆盘中,假定雷波罗在地面以上2米距火炬台顶端圆盘约70米处的位置射出火箭,若火箭恰好在达到其最大飞行高度1秒后落入火炬圆盘中,试确定火箭的发射角?和初速度v0.(假定火箭射出后在空中的运动过程中受到的阻力为零,且

g?10m/s2，arctan22sin46.5??0.725) ?46.5?，20.9例10 求一条光线从光速为c1的介质中的点A穿过水平界面射入到光速为c2的介质中点B的路

径．如图，点A和B位于xOy平面且两种介质的分界线为x轴，点Ｐ在介质分界线上，(0,a),(l,?b)和(x,0)分别表示点A，点B和点Ｐ的坐标，?1和?2分别表示入射角和折射角．

例11设R(x)?9x且C(x)?x?6x?15x，其中x表示千件产品. 是否存在一个能最大化利润的生产水平？如果存在，它是多少？

例12某人利用原材料每天要制作5个贮藏橱. 假设外来木材的运送成本为6000元，而贮存每个单位材料的成本为8元. 为使他在两次运送期间的制作周期内平均每天的成本最小，每次他应该订多少原材料以及多长时间订一次货？

32课堂练习

1. 下列命题正确吗?

若x0为f(x)的极小值点, 则必存在x0的某领域, 在此领域内, f(x)在x0的左侧下降, 而在x0的右侧上升.

2 .若f(a)是f(x)在[a, b]上的最大值或最小值, 且f?(a)存在, 是否一定有f?(a)?0?

第六节 函数图形的描绘

内容要点

一、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线；

二、函数图形的描绘：对于一个函数，若能作出其图形，就能从直观上了解该函数的性态特征，并可从其图形清楚地看出因变量与自变量之间的相互依赖关系. 在中学阶段，我们利用描点法来作函数的图形. 这种方法常会遗漏曲线的一些关键点，如极值点、拐点等. 使得曲线的单调性、凹凸性等一些函数的重要性态难以准确显示出来. 本节我们要利用导数描绘函数y?f(x)的图形，其一般步骤如下:

第一步 确定函数f(x)的定义域, 研究函数特性如: 奇偶性、周期性、有界性等, 求出函数的一阶导数f?(x)和二阶导数f??(x);

第二步 求出一阶导数f?(x)和二阶导数f??(x)在函数定义域内的全部零点，并求出函数f(x)的间断点和导数f?(x)和f??(x)不存在的点, 用这些点把函数定义域划分成若干个部分区间;

第三步 确定在这些部分区间内f?(x)和f??(x)的符号, 并由此确定函数的增减性和凹凸性，极值点和拐点;

第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其它变化趋势;

第五步 算出f?(x)和f??(x)的零点以及不存在的点所对应的函数值，并在坐标平面上定出图形上相应的点；有时还需适当补充一些辅助作图点(如与坐标轴的交点和曲线的端点等)； 然后根据第三、四步中得到的结果，用平滑曲线联接而画出函数的图形.

例题选讲

例1求f(x)?2(x?2)(x?3)的渐近线. 例2作函数f(x)?x3?x2?x?1的图形.

x?143例3按照以下步骤作出函数f?x??x?4x?10的图形.

x21?24(x?1)?(x)?e的图形. 例4作函数f(x)?的图形. 例5 作函数 ?22?x2课堂练习

1.两坐标轴x?0,y?0是否都是函数f(x)?2.若函数f(x)有limf(x)?0,limx???sinx的渐近线? xx???f(x)?1, xf(x)?0,limf(x)??,并且当x?(0,1)时, f?(x)?0, 否则f?(x)?0(x?2),

x???x???xx?2当x?(1/2,2)时, f??(x)?0, 否则f??(x)?0(x?0),则

(1) 函数f(x)的单调区间(注明增减)是_______. (2) 函数曲线的凹向和拐点是_______.

(3) 当x?_______时, 函数取得极大值_______. (4) 函数的渐近线有_______. lim[f(x)?x]?2,lim