高数上册

x4例4 证明lim(a?1)???(a?1). 例5求 lim3.

x???x??x?511例6当x?0时，y?sin是一个无界变量，但不是无穷大.

xx课堂练习

2x2?2x. 1. 求 limx?1(x?1)22．（1）设x?x0时，g(x)是有界量，f(x)是无穷大量，证明：f(x)?g(x)是无穷大量. （2）设x?x0时，|g(x)|?M(M是一个正的常数），f(x)是无穷大量，证明：f(x)g(x)是

x无穷大量.

第六节 极限运算法则

内容要点

一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、 复合函数的极限运算法则：定理2

例题选讲

2x2?9例1求 lim(x?3x?5). 例2求 lim2.

x?2x?35x?7x?24x?1x2?1例3 求 lim2. 例4 求 lim2.

x?1x?2x?3x?1x?2x?3238x3?6x2?5x?12x3?3x2?5. 例5计算lim. 例6 计算limx??x??7x3?4x2?13x?2(1?x)(1?3x)(1?4x)2n??1. 例7求lim?2?2???2?. 例8 计算lim3x?1n??n(1?x)nn??例9 计算lim(sinx?1?sinx).

x???tanxn2sinn!. ; (2)lim例10 计算下列极限：(1)lim1x?0n??n?12?ex?x?1,x?0?例11已知f(x)??x2?3x?1,求limf(x),limf(x),limf(x),

x?0x???x???,x?03??x?1?x2?1?. 例13 已知lim(5x?ax2?bx?c)?2,求a,b之值. 例12求limln??x?1x????2(x?1)?3课堂练习

1. 求极限:

2?x 2. 在某个过程中，若f(x)有极限，g(x)无极限，那么f(x)?g(x)是否有极限？为什么？

x?0x???(1)limexsin1x;(2) lim1?x?33.

第七节 极限存在准则 两个重要极限

内容要点

一、夹逼准则：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:

（1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?); （2）limyn?a,limzn?a,

n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a.

n??注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求.

二、单调有界准则：单调有界数列必有极限.

三、两个重要极限：

sinx?1?1. lim?1； 2．lim?1???e.

x???x?0xx?x例题选讲

?1?11?. 例2 求 lim(1?2n?3n)1/n. ????例1 求 lim??2n??n???n2?2n2?n??n?1?. 例4 求 limn(a?1). ????例3 求 lim?22?n???n2n??a(n?1)(n?n)???111?nann!例5 求 lim(a?0). 例6 求 limn.

n??n!n??n例7求 limnn. 例8 求证limna?1(a?0).

n??n??例9 求极限 limx??. 例10 求极限limcosx.

x?0x?0?x?例11设有数列x1?3,x2?3?x1,?,xn?3?xn?1,?求limxn.

n???1?1?a???(n?1,2,??)（其中x0为大例12 设 a?0为常数, 数列xn由下列定义: xn??xn?1?2?xn?1??于零的常数）, 求limxn.

n??tan3xtanx. 例14 求 lim.

x?0sin5xx?0x1?cosxx?sin2x例15求 lim 例16 计算 .lim.

x?0x?0x?sin2xx2例17 下列运算过程是否正确：

例13 求 limtanxtanxxtanxx?lim.?limlim?1.

x?xsinxx?xx?xx?xxsinxxsinxx2cosx?cos3x. 例18 计算 lim. 例19 计算 limx?01?xsinx?cosxx?0x2lim2?tanx?2?sinx?1?lim例20 求 lim. 例21 求 ?1??n???x?0n?x31/xn?3.

x?1?例22 求 lim(1?2x). 例23 求 lim?1??.

x?0x??x???x2??3?x??. 例24求 lim??. 例25 求 lim?x???x2?1?x???2?x???x1/xtan2x. 例26 计算 lim(e?x). 例27 求极限 lim(tanx)x?0x??/42xx课堂练习

tanx?sinx1. 求极限 lim. 2. 求极限lim(3x?9x)x. 2x???x?0xsinx1第八节 无穷小的比较

内容要点

一、无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同. 二、常用等价无穷小关系：x?0时

sinx~xln(1?x)~x1?cosx~12x2tanx~xex?1~xarcsinx~xarctanx~x

ax?1~xlna(a?0)(1?x)??1~?x(??0是常数)??存在, 则 ?? 三、 关于等价无穷小的两个重要结论：

定理1 设?,??,?,??是同一过程中的无穷小，且?~??,?~??，lim????lim. ???定理2 ?与?是等价无穷小的充分必要条件是????o(?).

lim例题选讲

例1 证明: 当x?0时, 4xtan3x为x的四阶无穷小. 例2当x?0时, 求tanx?sinx关于x的阶数.

例3 当x?1时，将下列各量与无穷小量x?1进行比较.

（1）x?3x?2; （2）lgx; （3）(x?1)sinx31. x?1n1??例4 证明e?1~x. 例5 求极限lim?1??.

n???2n?1?例6求 limtanx?sinxtan2x. 例7 求 lim. 3x?0x?0sin5xsin2x(1?x2)1/3?11?tanx?1?tanx例8 求 lim. . 例9 求 limx?0x?01?2x?1cosx?12?1?cosxex?excoxs.lim. 例10 计算 lim 例11 计算 22x?0xln1x?0(?x)sinxln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)tan5x?cosx?1. 例13 求 lim例12 lim.

x?0x?0sin3xsecx?cosx课堂练习

e??e?1. 求极限 lim. 2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?

??????第九节 函数的连续与间断

内容要点

一、函数的连续性：函数的增量 连续性的三种定义形式 二、左右连续的概念

定理1 函数f(x)在x0处连续的充要条件是函数f(x)在x0处既左连续又右连续. 三、连续函数与连续区间

四、 函数的间断点及其分类：第一类间断点 跳跃间断点 可去间断点；第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点；

例题选讲

1??xsin,x?0,例1 试证函数f(x)??在x?0处连续. x?0,x?0,?例2 设f(x)是定义于[a, b]上的单调增加函数, x0?(a,b),如果limf(x)存在, 试证明函数f(x)x?x0在点x0处连续.

x?1?,x?0?2?0,x?0 在x?0和x?1处的连续性. 例3 讨论函数f?x????1?x2,0?x?1??4?x,x?1?x2?1,x?0例4 已知函数f(x)??在点x?0处连续，求b的值.

2x?b,x?0??x4?ax?b?,x?1,x??2例 5设f(x)??(x?1)(x?2), 为使f(x)在x?1处连续，a与b应如何取值？

?2,x?1?例6证明函数y?sinx在区间x?(??,??)内连续.

?x?2,x?0,例7 讨论f(x)?? 在x?0处的连续性.

x?2,x?0,???x,x?0例8 讨论函数f(x)?,在x?0处的连续性.

1?x,x?0??2x,0?x?1?x?1例9讨论函数 f(x)??1,在x?1处的连续性.

?1?x,x?1??1/x,x?0例10 (1) 讨论函数f(x)??在x?0处的连续性.

x,x?0?1(2) 讨论函数f(x)?sin在x?0处的连续性.

x例11 a取何值时，f(x)???cosx,x?0, 在x?0处连续.

?a?x,x?0,x?0?1x,2??x?1例12 设f(x)??,0?x?1?1,求f(x)的间断点，并判别出它们的类型.

x?1?x?1,x?2???x2?x,x??1及0?例 13求函数f(x)??x(x2?1)的间断点，并判断其类型. 若为可去间断点，试补

?0,x??1?充或修改定义后使其为连续点. 1?ax?x2e?nx?xsin,x?0例14 研究f(x)??在x?0处的连续性. 例15讨论f(x)?lim的连续性. xn??1?e?nxx??e??,x?0课堂练习

221. 若f(x)在x0处连续，|f(x)|、f(x)在x0处是否连续？又若|f(x)|、f(x)在x0处连续，f(x)在x0处是否连续？

ex?b, 2. 试确定a,b的值，使f(x)?(x?a)(x?1) (1) 有无穷间断点x?0; (2) 有可去间断点x?1.

第十节 连续函数的运算与性质

内容要点

一、连续函数的算术运算