2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷（附有参考详解）

三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 17．（6分）求半径为3的圆的内接正方形的边长．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠OBE＝45°；而OE⊥BC， ∴BE＝CE；而OB＝3， ∴sin45°＝∴OE＝∴BC＝3

，cos45°＝，BE＝，

．

，

，

故半径为3的圆内接正方形的边长为3

18．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，由此确定点M坐标为（x，y）． （1）写出点M所有可能的坐标；

（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率． 【解答】解：（1）列表如下：

﹣1 ﹣2 0

0

1

2

（0，﹣1） （1，﹣1） （2，﹣1） （0，﹣2） （1，﹣2） （2，﹣2） （0，0）

（1，0）

（2，0）

共有9种等可能的结果数；

（2）满足点（x，y）落在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，即（2，﹣1），（ 1，0 ）， 所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．

19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2＝BD?CD，记△ADB的面积为S△ADB，△CDA的面积为S△CDA．

（1）求证：△ADB∽△CDA；

（2）若S△ADB：S△CDA＝1：4，求tanB．

【解答】（1）证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AD2＝BD?CD， ∴

，

∴△ADB∽△CDA； （2）∵△ADB∽△CDA， ∴S△ADB：S△CDA＝（∴tanB＝

＝2．

）2＝1：4，

20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：

x y

… …

﹣1 10

0 5

1 2

2 1

3 2

… …

（1）当x＝4时，求y的值； （2）当y＜10时，求x的取值范围．

【解答】解：（1）由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2， 所以，x＝4时，y＝5；

（2）由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，x＝﹣1或5时，y＝10， 所以，y＜10时，x的取值范围为﹣1＜x＜5．

21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝BC，AC＝2，cosA＝． （1）求BC与BC边上高的长；

（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求

的值．

【解答】解：（1）作BH⊥AC于H，如图， ∵BA＝BC， ∴AH＝CH＝1， 在Rt△ABH中，cosA＝∴AB＝

＝5，

，

∴BH＝＝2；

设BC边的高为h，则BC?h＝AC?BH， ∴h＝

＝

；

即BC与BC边上高的长分别为5，

（2）作DE⊥AC于E，如图，设AE＝x， 在Rt△ADE中，cosA＝∴AD＝5x， ∴DE＝2

x，

＝，

∵DC＝DB＝5﹣5x，CE＝2﹣x， 在Rt△CDE中，（2∴AD＝5x＝

x）2+（2﹣x）2＝（5﹣5x）2，解得x＝

，

，

，BD＝5﹣5x＝

∴＝＝．

22．（12分）已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）． （1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；

（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值； （3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小． 【解答】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4， ∴点M（0，4）在y1的图象上， 即y1的图象经过点M（0，4）；

（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）． ∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣）（x﹣4）﹣（ax+4）， 即y＝

∵a＞0，对称轴为x＝

， ＞2，

∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，

∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4， ∵y＝y2﹣y1的最大值为4， ∴17a﹣4＝4， 解得，a＝

（3）由（2）知y＝y2﹣y1＝

，

；