第6讲 不等式及不等式组

第6讲 一元一次不等式（组）

中考说明

中考内容 不等式（组）

A 了解不等式的意义 中考要求 B 能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组） 会利用不等式的性质比较两个实数的大小 会解一元一次不等式和由两个一元一次不等式组成的不等式组 C 不等式的性质 理解不等式的基本性质 了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式解决简单问题 解一元一次不等式（组） 知识网络图

?不等式的概念、性质??一元一次不等式?概念????解、解集与解法 不等式?概念???一元一次不等式组?解、解集与解法????不等式的应用前章回顾

1． 坐标平面内对称点的坐标特征是什么？

2． 用坐标表示平移是怎么做的？

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6.1一元一次不等式

概念辨析

一． 不等式的概念

1. 不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式．

例如：-5??2，a?3??1，x?1?0，x?0，3a?5a 等都是不等式． 2. 常见的不等号有5种：“? ”、“? ”、“? ”、“?”、“?”．

注意：不等式3?2 成立；而不等式3?3也成立，因为3=3成立，所以不等式3?3成立． 3. 常见的不等号对应的词汇．

符号 词汇 不等于 大于、超过、高于 小于、不足、不到、低于 大于等于、不小于、不低于、至少、最少 小于等于、不大于、不高于、不超过、至多、最多 ? ? ? ? ? 4. 不等号“?”和“?”称为互为相反方向的符号，所谓不等号的方向改变，就是指原来的不等号的方向改变成与其相反的方向，如：“?”改变方向后，就变成了“?”。 二． 不等式的解与解集

1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 单独的一个不等式有无数个解． 2. 不等式的解集：

（1） 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集． （2） 不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解． （3） 不等式的解集可以用数轴来表示． 3. 在数轴上表示不等式的解集(示意图)：

不等式的解集 在数轴上表示的示意图 不等式的解集 在数轴上表示的示意图 x?a ax x?a ax x?a ax x?a ax 注意：利用数轴表示不等式的解集时，要注意表示数的点的位置上是空心圆圈，还是实心圆点

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4. 等式的解与不等式的解集的区别：

不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．

5. 求不等式的解集的过程叫做解不等式 三． 不等式性质

1. 不等式的性质1 ：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

如果a?c?b?c，那么a?c?b?c 如果a?c?b?c，那么a?c?b?c

2. 不等式的性质2 ：不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

如果a?b，并且c?0，那么ac?bc (或abc?c ) 如果a?b，并且c?0，那么ac?bc (或

ac?bc

) 3. 不等式的性质3 ：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

如果a?b，并且c?0，那么ac?bc (或ac?bc) 如果a?b，并且c?0，那么ac?bc (或

ac?bc ) 4. 不等式的互逆性：如果a?b，那么b?a ；如果a?b那么b?a． 5. 不等式的传递性：如果a?b ，b?c ，那么a?c ．

6. 移项：把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向 易错点：不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 四． 一元一次不等式

1. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式 2. 一元一次不等式的标准形式：ax?b或ax?b(a?0) 3. 一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的过程及注意事项：

变形名称 依据 注意事项 ① 不含分母的项不要漏乘 去分母 不等式性质2 ② 注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号 ① 运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 去括号 分配律，去括号法则 ② 如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号 3

① 移项必须变号 移项 不等式性质1 ② 一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边 合并同类项 合并同类项法则 合并同类项是系数相加，字母及其指数不变. ① 两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 ② 分子、分母不要颠倒 化未知数系数为1

不等式性质2 不等式性质3 例题精讲

【例1】 （1）（2014年平谷期末）x的3倍与4的和是负数，用不等式表示为_________．

（2）（2014年西城期末）语句“x的3倍与10的和小于或等于7”用不等式表示为_________． （3）（2014年燕山期末）已知x的一半与5的差小于3，用不等式表示为_________． （4）（2013年东城期末）x的

1与3的差是负数，用不等式表示为_________． 2【讨论一下】不等式常见的符号有哪些?

【例2】 （2014年东城期末）若实数a，b，在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是（）．

A．ac?bc B．ab?cb C．a?c?b?c D．a?b?c?b

a b 0 c 【讨论一下】数轴上的点有哪些特点？不等式有哪些性质？

【例3】 在数轴上表示下列不等式的解集：

（1）x?1；（2）x??2；（3）?2?x?1；（4）x??2或x?1；

【讨论一下】数轴的三要素是什么？用数轴表示不等式的解集时要注意哪些？

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