《概率论与数理统计B》实验教学指导书

返回水平α的参数估计和置信区间 指数分布参数的最大似然估计 muhat =expfit(X) expfit [muhat,muci] = expfit(X) [muhat,muci] = expfit(X,alpha) 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 γ分布参数的最大似然估计 phat =gamfit(X) gamfit [phat,pci] = gamfit(X) [phat,pci] = gamfit(X,alpha) 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回最大似然估计值和水平α的置信区间 韦伯分布参数的最大似然估计 phat = weibfit(X) weibfit [phat,pci] = weibfit(X) [phat,pci] = weibfit(X,alpha) 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计及其区间估计 分布函数名为dist的最大似然估计 phat = mle('dist',data) Mle [phat,pci] = mle('dist',data) [phat,pci] = mle('dist',data,alpha) [phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1) 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的最大似然估计值和置信区间 仅用于二项分布，pl为试验总次数 说明：各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间。α的默认值为0.05，即置信度为95%。

例2. 产生 100 行2列服从区间(10, 12)上的均匀分布的随机数， 计算区间端点“a”和“b”的极大似然估计值，求出置信度为0.95的这两个参数的置信区间.

解：在命令窗口中输入:

r = unifrnd(10, 12, 100, 2); [ahat, bhat, aci, bci] = unifit(r) 回车后显示: ahat =

10.0154 10.0060 bhat =

2

11.9989 11.9743 aci = 9.9551 9.9461

10.0154 10.0060 bci =

11.9989 11.9743 12.0592 12.034

结果表明: 以第一列随机数为例, 区间端点a和b的极大似然估计值分别是10.0154(比“10”略大)和11.9989(比“12”略小), 置信度为0.95的两个参数的置信区间分别是(9.9551, 10.0154)和(11.9989, 12.0592).

例3. 产生1行100列的参数为3的指数分布的随机数, 计算“λ”的极大似然估计值, 求出置信度为0.99的参数λ的置信区间.

解：在命令窗口中输入:

r=exprnd(3,1,100);

[lambdahat,lambdaci]=expfit(r,0.01) 回车后显示: lambdahat=

2.6787 lambdaci=

2.0988 3.5190

命令2：利用通用 mle函数来进行参数估计

·phat=mle('name', X); % 返回用name指定分布的极大似然估计值. ·[phat, pci]=mle(' name ', X); % 同时进行区间估计, 默认置信度为95%. ·[phat, pci]=mle(' name ', X, alpha); %同时进行区间估计, 置信度由 alpha确定. ·[phat, pci]=mle(' name ', X, alpha, pl); %仅用于二项分布, pl为试验次数.

说明name为分布函数名,如 beta(β分布)、bino(二项分布)等, X 为数据样本,alpha 为显著水平α, 100(1-α)%为置信度.

例4 产生200个概率p为0.75的试验次数N=50的二项分布的随机数, 求出置信度为 0.95的参数p的置信区间.

解 在命令窗口中输入:

X=binornd(50,0.75,200,1); % 产生题目要求的二项分布的200个随机数. [p,pci]=mle('bino',X,0.05,50); % 求概率的估计值和置信区间, 置信度为95%.

2

回车后显示: p =

0.7471 pci =

0.7385 0.7556

关于其它分布的参数估计, 读者可以类似地写出, 也可以在MATLAB工作空间中用 help命令获得具体用法和命令解释. 三、单个正态总体参数估计

设X1,X2,,Xn为来自正态总体N(?,?2)的一个样本，求?,?2的极大似然估计与区间

估计，结果如下：

表3-2正态总体未知参数的区间估计

参数 ?已知 2MLE 估计函数 U=(x??)n 置信区间 [x?u??2μ ?未知 2X ?1?n,x?u??21?n] X 2n(x??)T?n s[x?t21??(n?1)2ss,x?t?(n?1)] 1?nn22μ已知 ?2 1S?=?(Xi-?)2?2?ni=1 1nS=?(Xi-X)2ni=1 2?(i=1nXi-?)? 2[?(Xi=1ni-?)?21??2(n),?(Xi=12n2-?)i??(n)2] μ未知 ?2?(n?1)s2?2 (n?1)s2(n?1)s2[2,] ??(n?1)?2?(n?1)1?221. 若参数均未知，由上面结果可得。 例5. 分别使用金球和铂球测定引力常数, 数据如下:

(1) 用金球测定观察值为 6.683, 6.681, 6.676, 6.678,6.679, 6.672; (2) 用铂球测定观察值为 6.661, 6.661, 6.667, 6.667,6.664. 设测定值总体为

, μ和σ为未知. 对(1)和(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为 0.9

的置信区间, 并比较这两种情况的精确度.

解：在命令窗口中输入:

X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672]; Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664];

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1); %金球测定的估计.

2

[my,sy,myci,syci]=normfit(Y,0.1); %铂球测定的估计. 回车后显示: mu =

6.6782

sigma =

0.0039

muci =

6.6750 6.6813

sigmaci =

0.0026 0.0081

my =

6.6640

sy=

0.0030

myci =

6.6611 6.6669

syci=

0.0019 0.0071

结果说明: 金球测定的μ估计值为6.6782, 置信区间为[6.6750, 6.6813]; σ的估计值为 0.0039, 置信区间为[0.0026 , 0.0081]; 泊球测定的μ估计值为6.6640, 置信区间为[6.6611, 6.6669]; σ的估计值为0.0030, 置信区间为[0.0019, 0.0071]. 可见, 铂球测定的精确度高(因为标准差小, 关于总体期望μ和总体标准差σ置信区间长度相对要小). 2. 若参数有已知的，matlab没有命令直接得结果，需编程进行计算。

例6. 某课程命题初衷, 其成绩X~N(?,13.52)), 考毕抽查其中10份试卷的成绩为:74，95，81，43，62，52，86，78，74，67，试求该课程平均成绩μ的置信度为0.95的置信区间。

解：在MATLAB的编辑窗口建立如下的M-文件(并保存为myfun1.m), 以便以后套用 alpha=0.05; %给定的显著性水平 sigma=13.5;%已知的标准差

2