第二章 谓词逻辑 - 图文

第二章 谓词逻辑 在命题逻辑中，主要研究命题和命题演算，其基本组成单位是原子命题，并把它看作不再分解的。 但是原子命题，实际上还是可以作进一步分析的，特别是两个原子命题间，常常有一些同特征，为了刻划命题内部的逻辑结构，就需要研究谓词逻辑。 此外，命题逻辑的推证中有着很大的局限性，有些简单的论断也不能用命题逻辑进行推 例如，简单而有名的苏格拉底三段论： 所有的人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。 这个显然成立的推理在第一章中是不能进行推证的，比如令P表示：所有的人都是要死Q表示：苏格拉底是人，R表示：苏格拉底是要死的。于是该推理可以表示为： P∧QR 但是，用第一章命题逻辑的方法并不能证明该推理成立，因为P∧Q→R不是重言式。比如当Q为T，R为F时，P∧Q→R的真值为F。 苏格拉底三段论在命题逻辑中不能推证的原因是命题公式描述能力的局限性。比如：“有的人都是要死的”和“苏格拉底是要死的”这两个命题所表述的性质都为：“是要死的”但在命题逻辑中需用两个不同的命题符号P和R来表示，两个不同的符号显然掩盖了两个命描述性质的共同性。这样必须要对命题的内部关系进行深入地研究。 第1节 谓词的概念与表示 1 客体 命题中涉及的对象称为客体。 比如命题：计算机是科学技术的工具，其中“计算机”就是客体。又如命题：张三是李的领导，其中“张三”和“李四”都是客体。 2 谓词 描述命题中客体性质或客体之间关系的部分称为谓词。 比如上述两例中，“是科学技术的工具”和“?是?的领导”都是谓词。 又例如： (a) 他是三好学生。 (b) 7是质数。 (c) 每天早晨做广播操是好习惯。 (d) 5大于3。 (e) 哥白尼指出地球绕着太阳转。 在上述语句中“是三好学生”、“是质数”、“是好习惯”、“大于”、“指出”都是词。前三个是指明客体性质的谓词，后两个是指明两个客体之间关系的谓词。 3 客体与谓词的表示 我们将用大写字母表示谓词，用小写字母表示客体名称，例如A表示“是个大学生”，示张三，e表示李四，则A(c)，A(e)分别表示“张三是个大学生”，“李四是个大学生”。用谓词表达命题，必须包括客体和谓词字母两个部份，一般地说，“b是A”类型的命题可用表达。对于“a小于b”这种两个客体之间关系的命题，可表达为B(a,b)，这里B表示“?于?”。又如命题“点a在b与c之中”可以表示为L：?在?和?之中，故可记为L(a，c)。 4 谓词的分类 我们把A(b)称作一元谓词，B(a,b)称作二元谓词，L(a,b,c)称作三元谓词，依次类推注意，代表客体名称的字母，它在多元谓词表示式中出现的次序与事先约定有关，因此未经定前，上例记作L(a，b，c)或L(b c,a)等都可以，但一经约定，L(a,b,c)与L(b,c,a)就代个不同的命题。 单独一个谓词不是完整的命题，我们把谓词字母后填以客体 所得的式子称为谓词填式样谓词和谓词填式应该是两个不同的概念。 一般地说，n元谓词需要n个客体名称插入到固定的位置上， 如果A为n元谓词，a1，a2，an是客体的名称，则A(a1，a2，?，an)就可成为一个命题。 通常。一元谓词表达了客体的“性质”，而多元谓词表达了客体之间的“关系”。 *重点：谓词是描述命题中客体性质或客体之间关系的部分，用大写字母表示。 第2节 命题函数与量词 1 命题函数 首先应注意，客体有客体常元和客体变元之分，当一个客体表示确定的客体时，称为客常元；当一个客体表示不确定的客体时，称为客体变元。 为了说明命题函数的概念，下面先举例解释命题与谓词的关系。 设H是谓词“能够到达山顶”，L表示客体名称李四，t表示老虎，c表示汽车，那么HH(t)，H(c)等分别表示各个不同的命题，但它们有一个共同的形式，即H(x)。当x分别取Lc时就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山顶”，“汽车能够到达山顶”。 同理，若L(x,y)表示x小于y，那么L(2,3)表示了一个真命题：“2小于3”。而L(5表示假命题：“5小于1”。 又如A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z”。则且A(3,2,5)衷示了真命题“3+2=5而A(1,2,4)表示了一个假命题“1+2=4”。 从上述三个例子中可以看到H(x)，L(x,y)，A(x,y,z)中的x，y，z等都是客体变元，一些函数，于是便有如下定义。 定义2-2.1 由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。由一个或n单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命题函数。 根据这个定义可以看到，n元谓词就是有n个客体变元的命题函数，当n=0时，称为0词，它本身就是一个命题，故命题是n元谓词的一个特殊情况。 逻辑联结词，∧，∨、→、的意义与命题演算中的解释完全相同。 例1 设S(x)表示“x学习很好”，用W(x)表示“x工作很好”。则S(x)表示“x学习很好”。S(x)∧W(x)表示“x的工作，学习都很好”。S(x)→W(x)表示“若x的学习很好，的工作得很好。” 例2 用H(x,y)表示“x比y长得高”。设L表示李四，c表示张三。则 H(L,c)表示“李四不比张三长得高”。 H(L,c)∧H(L,c)表示“李四不比张三长得高”“张三不比李四长得高”即“张三与李四同样高”。 2 个体域（或论域） 例3 设Q(x,y)表示“x比y重”，当x,y指人或物时，它是一个命题，但若x,y指实数Q(x,y)就不是一个命题。 命题函数不是一个命题，只有客体变元取特定名称时，才能成为一个命题。但是客体变在哪些范围内取特定的值，对是否成为命题及命题的真值极有影响。 例4 R(x)表示“x是大学生”，如果x的讨论范围为某大学里班级中的学生，则R(x)真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级中的学生，则R(x)是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众，观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 例5 (P(x,y)∧P(y,z))→P(x,y) 若P(x,y)解释为“x小于y”，当x,y,z都在实数域中取值，则这个式子表示为：若xy且y小于z,则x小于z。这是一个永真式。 如果P(x,y)解释为“x为y的儿子”。当x,y,z都指人，则“若x为y的儿子且y是儿子则x是z的儿子”。这个式子表达的是一个永假公式。 如果P(x,y)解释为“x距离y10米”，若x,y,z表示地面上的房子，那么“x距离y 1且y距离z 10米则x距离z 10米”。这个命题的真值将由x,y,z的具体位置而定,它可能也可能为F。 从上述两例可以看到，命题函数确定为命题，与客体变元的论述范围有关。在命题函数客体变元的论述范围称作个体域。个体域可以是有限的，也可以是无限的，把各种个体域综在一起作为论述范围的域称全总个体域。 3 量词 使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好地表达日常生活中的各种命题。例如：S表示x是大学生，而x的个体域为某单位的职工。那么S(x)可以表示某单位职工都是大学也可以表示某单位存在一些职工是大学生。为了避免这种理解上的混乱，因此需要引入量词以刻划“所有的”和“存在一些’的不同概念。 例如 (a) 所有的人都是要呼吸的。 (b) 每个学生都要参加考试。 (c) 任何整数或是正的或是负的。 这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此，引入符号：V-x，表示“对的x”。 符号“”称为全称量词。用来表达“对所有的”“每一个”“对任一个”等。 符号“彐”称为存在量词，可用来表达“存在一些”“至少有一个”“对于一些”等。 * 重点：