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限时规范训练二 解三角形
(建议用时45分钟)
解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2×3×cos 30°＝.故PA＝
14
12
74
7.2
12
(2)设∠PBA＝α，则∠BCP＝α，
在Rt△BCP中，PB＝BCsin α＝sin α，
在△PBA中，由正弦定理得
3sin α
＝，
sin 150°sin30°－α
化简得3cos α＝4sin α.
所以tan α＝
33，即tan∠PBA＝.44
2．如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，
cos∠ADC＝.
1
7
π3
(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长． 解：(1)在△ADC中，因为
cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝1 / 3
17
43
.7
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B) ＝sin∠ADCcos B－cos∠ADCsin B ＝
4311333
×－×＝.727214
(2)在△ABD中，由正弦定理得
8×33
14AB·sin∠BAD
BD＝＝＝3.
sin∠ADB43
7
在△ABC中，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.
(1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值．
解：(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝
sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.
π
4
34
12
12
12
π4
1212
又由A＝，即B＋C＝π，得
3π??3π? －cos 2B＝－cos[2??4－C?]＝－cos?2－2C?＝sin 2C＝2sin Ccos C，????
∴2sin Ccos C＝sin2C解得tan C＝2.
(2)由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝
25
，55.5
cos C＝π?
又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin??4＋C?，
??
所以sin B＝
310
.10
2 / 3
由正弦定理
π142
bc22＝，得c＝b，sin Bsin C3
又因为A＝，bcsin A＝3，所以bc＝62，故b＝3.
4．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin
B)平行． (1)求A；
(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积．
解：(1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－3sin
Bcos A＝0，
又sin B≠0，从而tan A＝3，
由于0＜A＜π，所以A＝. (2)法一：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
及a＝7，b＝2，A＝， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，
因为c＞0，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsin A＝ 法二：由正弦定理，得
1
2
33
.2π3π3
72＝，πsin Bsin
3
21，727
.7
从而sin B＝ 又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝π?
故sin C＝sin(A＋B)＝sin??B＋3?
??
＝sin Bcos＋cos Bsin＝133
所以△ABC的面积为absin C＝.
22
π
3π321
.314
3 / 3
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