空间向量及其运算

高二数学辅导讲义8：空间向量及其运算 第1页 绍兴鲁迅中学柯 2015/11/04

高二数学辅导讲义8：空间向量及其运算（学生版）

【高考内容·要求】

1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

4.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题。

1.空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有_____大小 和____方向_______的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向____相同____且模____相等____的向量.

(3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______平行或重合________的向量. (4)共面向量：___________平行于同一个平面_____________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是_存在实数λ，使得a＝λb ________.

→→

推论 如图所示，点P在l上的充要条件是：OP＝OA＋ta①

→

其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取AB＝a，

→→→→→→

则①可化为OP＝____OA＋tAB __或OP＝(1－t)OA＋tOB.

→→

(2)共面向量定理的向量表达式：p＝_ xa＋yb ，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为MP＝xMA

→→→→→→→→→

＋yMB或对空间任意一点O，有OP＝_OM＋xMA＋yMB _或OP＝xOM＋yOA＋zOB，其中x＋y＋z＝__1_. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝__xa＋yb＋zc__，把{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

→→

①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向

π

量a与b的夹角，记作__〈a，b〉__，其范围是_0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝，则称a与b__互相

2

垂直_，记作a⊥b.

②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，则____ |a||b|cos〈a，b〉__叫做向量a，b的数量积，记作__ a·b ___，即_____ a·b＝|a||b|cos〈a，b〉____.

(2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝____λ(a·b)________； ②交换律：a·b＝_____ b·a _____； ③分配律：a·(b＋c)＝____ a·b＋a·c ______. 4.空间向量的坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝________ a1b1＋a2b2＋a3b3________. (2)共线与垂直的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

则a∥b?_____a＝λb ____?______ a1＝λb1，a2＝λb2， a3＝λb3 (λ∈R) a⊥b?____a·b＝0 ___?____ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0______(a，b均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，

22则|a|＝a·a＝_____a21＋a2＋a3_____________，

a1b1＋a2b2＋a3b3a·b

cos〈a，b〉＝＝_______222222____. |a||b|a1＋a2＋a3·b1＋b2＋b3

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→

设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB|＝__________?a2－a1?2＋?b2－b1?2＋?c2－c1?2___________ [难点正本 疑点清源]

1.空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似，故在学习空间向量时，如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习，将收到事半功倍的效果.比如：

a·b

(1)定义式：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，或cos〈a，b〉＝，用于求两个向量的数量积或夹角；

|a||b|

(2)非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0，用于证明两个向量的垂直关系；

2

(3)|a|＝a·a，用于求距离等等.

2.要理解空间向量、空间点的坐标的意义，掌握向量加法、减法、数乘、点乘的坐标表示以及两点间的距离、夹角公式.利用空间向量的坐标运算可将立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题转化为向量的坐标运算，如(1)判断线线平行或诸点共线，可以转化为证a∥b (b≠0)?a＝λb；(2)证明线线垂直，转化为证a⊥b?a·b＝0，若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则转化为计算x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(3)在立体几何中求线段的长度问题时，转化为a·a＝|a|2，或利用

空间两点间的距离公式；(4)在计算异面直线所成的角(或线面角、二面角)时，转化为求向量的夹角，即

a·b

利用公式cos θ＝即可.

|a||b|

1.已知a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，则a＋b＝____________.

→→→→

2.下列命题：①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；

②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件； ③若a、b共线，则a与b所在直线平行；

→→→→

④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面. 其中不正确的所有命题的序号为_________. ．．．→→→

3.在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，

→

则OE＝__________ ____(用a，b，c表示).

4.若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 5.在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是__________.(填序号)

→→→→→1→1→1→①OM＝2OA－OB－OC；②OM＝OA＋OB＋OC；

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→→→→→→→

③MA＋MB＋MC＝0；④OM＋OA＋OB＋OC＝0.

题型一 空间向量的线性运算

→→→

例1 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，

BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： →→→→(1)AP；(2)A1N；(3)MP＋NC1.

探究提高 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立.

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→1→→→→

在例1的条件下，若AE＝EC，A1F＝2FD，试用a，b，c表示EF.

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题型二 共线、共面向量定理的应用

例2 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，

(1)求证：E、F、G、H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH；

→1→→→→

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM＝(OA＋OB＋OC＋OD).

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探究提高 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则、平行四边形法则和共线向量的特点，把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解，若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性a＝λb关系，即可判定两直线平行.

→1→→→

已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM＝(OA＋OB＋OC).

3

→→→

(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内.

题型三 空间向量性质的应用

→→

例3 已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC，

→

(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c； (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值；

(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值；

(4)若λ(a＋b)＋μ(a－b)与z轴垂直，求λ，μ应满足的关系.

探究提高 证明两条直线垂直，一般是用两条直线的方向向量的数量积等于0来加以证明的.

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已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求： (1)a，b，c；

(2)(a＋c)与(b＋c)夹角的余弦值.

例4 “两向量平行”和“两向量同向”不清致误

已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a、b同向，则x，y的值分别为__________. 学生答案展示 －2，－6或1,3

审题视角 (1)a与b同向，则a∥b，利用向量平行的性质列方程求x，y.(2)a与b平行，并不能保证同向，所以还要注意验证.

批阅笔记

(1)a与b同向是a∥b的充分而不必要条件.a∥b是a与b同向的必要而不充分条件.

(2)错因分析：两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件.错解就忽略了这一点. 例5 .如图，已知M、N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，且G为AM上且GM∶GA＝1∶3.求证：B、G、N三点共线.

例6 .直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点.

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.