一元二次方程知识点和易错点总结 - 图文

开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。 例 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）?2x?3??9?2x?3?；（2）x2?8x?6?0；（3）?x?2?(x?1)?0 22知识点三 一元二次方程根的判别式 一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?根的判别式 △=b2?4ac 运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况： （1） △=b2?4ac﹥0?方程有两个不相等的实数根； （2） △=b2?4ac=0?方程有两个相等的实数根； （3） △=b2?4ac﹤0?方程没有实数根； 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2?4ac的值；④根据b2?4ac的符号判定方程根的情况。 例 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况： （1）2x2?3x?5?0；（2）9x2?30x?25；（3）x2?6x?10?0 知识点四 根的判别式的逆用 在方程ax2?bx?c?0?a?0?中， （1）方程有两个不相等的实数根?b2?4ac﹥0 （2）方程有两个相等的实数根?b2?4ac=0 （3）方程没有实数根?b2?4ac﹤0 注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。 例 m为何值时，方程?2m?1?x2?4mx?2m?3?0的根满足下列情况： （1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根； 知识点五 一元二次方程的根与系数的关系 b若x1,x2是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两个根，则有x1?x2??， abx1x2? a根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）x1?x2??x1?x2??2x1x2 （2）222x?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?a)(x2?a)?x1?x2?a?x1?x2??a2； （4）│x1?x2│=?x1?x2?2=?x1?x2?2?4x1x2 例 已知方程2x2?5x?3?0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。 （1）x1?x2； （2）?x1?x2?。 222知识点六 根据代数式的关系列一元二次方程 利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。 例 当x取什么值时，代数式x2?x?6?0与代数式3x?2的值相等？ 一元二次方程的应用 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 关键点：找出题中的等量关系。 知识点二 用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题 增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a?1?x?，两次增长后的值为a?1?x?；（2）若基数为a，2降低率x为，则一次降低后的值为a?1?x?，两次降低后的值为a?1?x?。 2例 某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为x，列出关于x的方程为 知识点三 用一元二次方程解与市场经济有关的问题 与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量 例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。 （1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。 （2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。 易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a?0. （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 一元二次方程测试题 一、选择题 1、若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一个根为0，则m的值等于（ ） A、1 B、2 C、1或2 D、0 2、巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A．45?2x?50 B．45(1?x)2?50 C．50(1?x)2?45 D．45(1?2x)?50 ba3、已知a，b是关于x的一元二次方程x2?nx?1?0的两实数根，则式子?的ab值是（ ） A．n2?2 B．?n2?2 C．n2?2 D．?n2?2 4、 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 5、已知m,n是方程x2?2x?1?0的两根，且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)?8，则a的值等于 （ ） A．－5 B.5 C.-9 D.9 6、已知方程x2?bx?a?0有一个根是?a(a?0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） aA．ab B． C．a?b D．a?b b7、x2?2x?2?0的一较小根为x1,下面对x1的估计正确的是 （ ） A．?2?x1??1 B．?1?x1?0 C．0?x1?1 D．1?x1?2 8、关于x的一元二次方程x2?mx?2m?1?0的两个实数根分别是x1、x2，且2x12?x2?7，则(x1?x2)2的值是（ ） A．1 B．12 C．13 D．25 9、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2450张相片，如果全班有x名学生，根据 题意，列出方程为( ) x(x?1)A、x(x?1)?2450 B、x(x?1)?2450 C、?2450 2x(x?1)?2450 D、22210、若关于x的一元二次方程?k?1?x?x?k?0的一个根为1，则k的值为 ( ) A．－1 B．0 C．1 D．0或1 11、设a，b是方程x2?x?2009?0的两个实数根，则a2?2a?b的值为（ ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 12、对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根； ②若b2+4ac<0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根； ④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①③④ 二、填空题 1、若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ． 2、设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根， 2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ． 3、方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ． 24、已知关于x的一元二次方程ax?bx?1?0(a?0)有两个相等的实数根，ab222(a?2)?b?4的值为__________． 求5、在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a?5，若关于x的方程x2??b?2?x?6?b?0有两个相等的实数根，则△ABC的周长为__________． 226、已知关于x的一元二次方程x?6x?k?0（k为常数）． 设x1，x2为方程的两个实数根，且x1?2x2?14，则K的值为__________． 22(n?2004n?2005)与x?2003x?2004?07、已知m、n是方程的两根，则(m2?2004m?2005)的积是 . 三、简答题 1、已知x是一元二次方程x?35???x?2???x?2?的值． 3x2?6x?x2?3x?1?0的实数根，求代数式：2、已知关于x的一元二次方程（1）求实数m的取值范围； （2）当x12?x22?0x2??2m?1?x?m2?0有两个实数根x1和x2。 时，求m的值。 、x2（友情提示：若x1?x2??x1是一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?两根，则有cbx1gx2?a） a，3、某产品第一季度每件成本为50元，第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率为x。 （1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本； （2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少9.5元，试求x的值； 22x?2(2?k)x?k?12?0有实数根?、?． x4、若关于的一元二次方程求实数k的取值范围； t????k设，求t的最小值．