一元二次方程知识点和易错点总结 - 图文

一元二次方程知识点总结 知识结构梳理 （1）含有 个未知数。 （2）未知数的最高次数是 1、概念 （3）是 方程。 （4）一元二次方程的一般形式是 。 （1） 法，适用于能化为?x?m)2?n?n?0? 的一元。 二次方程 （2） 法，即把方程变形为ab=0的形式， 一 元 2、解法 （a，b 为两个因式）, 则a=0或 二（3） 法 次 方（4） 法，其中求根公式是 程当 时，方程有两个不相等的实数根。 （5） 当 时，方程有两个相等的实数根。 当 时，方程有没有的实数根。 可用于解某些求值题 （1） 一元二次方程的应用 （2） （3） 可用于解决实际问题的步骤 （4） （5） （6） 知识点归类 建立一元二次方程模型 知识点一 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。 ③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。 例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？ ⑴ 2?3；2x(x?3)?2x2?1 ?x2?0；⑵x2?6x?0；（3）x?x?5；（4）（5）2x?5一元二次方程的一般形式为ax2?bx?c?0（a，b，c是已知数，a?0）。其知识点二 一元二次方程的一般形式 中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。 注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。 （2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。 （3）形如ax2?bx?c?0不一定是一元二次方程，当且仅当a?0时是一元二次方程。 例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 72（1）5x2?x； （2）?x?2??x?3??8； （3）?3x?4??x?3???x?2? 2例2 已知关于x的方程?m?1?xm2?2??m?1?x?2?0是一元二次方程时，则m? 知识点三 一元二次方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x?2时，x2?3x?2?0所以x?2是x2?3x?2?0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 知识点四 建立一元二次方程模型 建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。 注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。 例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场， 鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成， 若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？ 鸡场 （只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。） 因式分解法、直接开平方法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。 例 用因式分解法解下列方程： （1）5x2?4x； （2）(2x2?3)?25?0； （3）x2?6x?9??5?2x?。 2知识点二 直接开平方法解一元二次方程 若x2?a?a?0?，则x叫做a的平方根，表示为x??a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。 （1）x2?a?a?0?的解是x??a；（2）?x?m??n?n?0?的解是2x??n?m；（3）?mx?n??c?m?0,且c?0?的解是x?2?c?n。 m例 用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）9x2?16?0； （2）?x?5??16?0； （3）?x?5???3x?1? 222知识点三 灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程 形如?ax?b??k?0?k?0?的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接2开平方法解。 例 运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。 （1）4?x?5?2?36?0； （2）?1?2x??3?0 2知识点四 用提公因式法解一元二次方程 把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。 如：0.01t2?2t?0，将原方程变形为t?0.01t?2??0，由此可得出t?0或0.0t?2?0，即t1?0,t2?200 注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。 知识点五 形如“x2??a?b?x?b?0?a,b为常数?”的方程的解法。 对于形如“x2??a?b?x?b?0?a,b为常数?”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为?x?a??x?b??0，则x?a?0或x?b?0，即x1??a,x2??b。 注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“x2??a?b?x?b?0?a,b为常数?”型方程的特征。 例 解下列方程：（1）x2?5x?6?0； （2）x2?x?12?0 配方法 知识点一 配方法 解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。 注意：用配方法解一元二次方程x2?px?q?0，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。 例 用配方法解下列方程： 7x?2?0 2知识点二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： （1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数； （1）x2?6x?5?0； （2）x2?（2） 把原方程变为?x?m??n的形式。 2（3） 若n?0，用直接开平方法求出x的值，若n﹤0，原方程无解。 例 解下列方程：x2?4x?3?0 知识点三 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程 当一元二次方程的形式为ax2?bx?c?0?a?0,a?1?时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数； (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为?x?m??n的形式； 2（3）若n?0，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。 例 用配方法解下列方程： （1）3x2?9x?2?0； （2）?x2?4x?3?0 公式法 知识点一 一元二次方程的求根公式 ?b?b2?4ac一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的求根公式是：x? 2a2用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为ax2?bx?c?0?a?0?的形式，确定的值a,b.c（注意符号）；（2）求出b2?4ac的值；（3）若b2?4ac?0，?b?b2?4ac则a,b.把及b?4ac的值代人求根公式x?，求出x1,x2。 2a2例 用公式法解下列方程 （1）2x2?3x?1?0； （2）2xx??2?1?0； （3）x2?x?25?0 ?知识点二 选择适合的方法解一元二次方程 直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程 因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式； 公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。 注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接