初 中 数 学 教 学 参 考 材 料

26.2圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系（3课时）

1.教学目标

（1）理解圆心角、弧、弦、弦心距等概念.

（2）掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理及其推论，能初步运用这些定理及其推论解决有关数学问题.

2.教材分析与教学建议

本节在介绍有关圆心角、弧、弦、弦心距等概念后，提出在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的弧、弦及其弦心距是否相等的问题.由于学生已经知道圆是旋转对称图形，因此可以借助于圆的旋转不变性去探索所提出的问题，于是得到关于圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理，再导出该定理的推论.在内容的处理上，采用“问题驱动”的方式引出圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理及其推论，其中又运用分类讨论的数学思想；定理的推论是用推理证明的方法得到的，这与一期数学课本不一样，体现了论证几何学习的要求.

在教学中，要注意以下几点：

(1)在圆心角、弧、弦、弦心距概念教学时，要把握准每个概念的含义，帮助学生正确理解概念的文字描述.如“弦心距是圆心到弦的距离，即圆心到弦的垂线段的长，而不是圆心到弦的垂线段.又如“等弧”是指能够重合的两条弧，它包含形状相同、长度也相同两层含义，而不仅仅是长度相同.

(2)为了便于研究讨论，“边款”中特别指出没有特别说明，本章中的圆心角通常是指大于0°小于180°的角.同时要向学生讲清楚，涉及到大于180°的圆心角时必须加以说明。

(3)本节仍然用叠合法来导出圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理.如果用弧长计算公式，那么只能推出两条弧长度相等，不能说明两条弧为什么能重合.课本中对这个定理的证明，虽然是操作说理，但运用叠合法的过程是严谨的。

(4) “问题2”的设置，是引导学生分别由弧相等、或弦相等、或弦心距相等这些条件，化归到圆心角相等，进而根据已有的圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理，推出其他几组量也相等，得到这个定理的推论.

(5)例题1是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理的初步运用，要注意规范表达. (6)例题2、例题3是圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论的初步运用。教学时，要指导学生学会如何用“+”、“－”符号表达弧的和与差；还要让学生体验到运用这个定理及其推论可使证明过程更为简明.

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3．练习答案

练习26.2（1）

1．弧AB比弦AB长.因为“两点之间，线段最短”. 2．弧AC=弧BD,弧BC=弧AD,半圆AB=半圆CD.理由略. 3．AB=CD，或弧AB=弧CD，或∠AOB=∠COD. 练习26.2（2）

1．提示:由弧AD=弧BC，得弧CD=弧AB；再利用关系定理的推论导出结论. 2．提示:联结OD.

3．提示: 由AD=BC,得弧AD=弧BC,推出弧AB=弧CD；再由关系定理的推论得AB=CD， 从而推出OM=ON.

练习26.2（3）

1. 提示: 由AB=CD, 得弧AB=弧CD，推出弧AC=弧BD ，可知AC=BD；再由“边边边”得△ABC≌△DBC.

2． 提示:过点O作OM⊥AC,ON⊥AD，垂足分别为M、N. 3．提示:过点O作OM⊥AB,ON⊥CD,推得OM=ON,DN=AM=所以AE=DE.

12AB,再证△OME≌△ONE,则ME=NE,

26.3 垂径定理（3课时）

1．教学目标

（1）经历垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理及其推论，能初步运用垂径定理及推论解决有关数学问题.

（2）在证明垂径定理的推论的活动中，领会分类讨论的数学思想.

2.教材分析与教学建议

学生已经知道，在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧和弦及其弦心距这四组量之间有密切的联系.本节利用圆的轴对称性，进一步得到圆的直径与弦及弦所对的弧之间也存在着密切的关联。因为圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴，所以课本对于这些量之间关系的讨论，从垂直于弦的直径的性质开始展开，并加以推理证明；得到了垂径定理后，再提出平分弦(不是直径)或平分弧的直径又分别具有怎样的性质？课本中把解决这些问题化归为平分弦(不是直径)或平分弧的直径是否垂直于弦的问题，利用

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等腰三角形“三线合一”的性质和垂径定理，导出垂径定理的推论.最后，进行总结性的概括，得到“在圆中，对于某一条直线“经过圆心”，“垂直于弦”，“平分弦”，“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果其中有两组关系成立，那么其余两组关系也成立“的结论.

在教学中，要注意以下几点：

(1) 本节开头说明了圆是轴对称图形，然后在“思考” 中提出问题，引导学生直观感知垂径定理的真实性，再用推理的方法加以证明。教学中，要注意展现垂径定理的导出和证明过程，让学生获得“实验—归纳—猜测—论证”的过程经历.

(2) 对于垂径定理文字描述的理解，在“边款”中特别指出，垂径定理条件中的“弦”可以是直径,结论中“平分弦所对的弧”包括弦所对的劣弧和优弧；垂径定理中的条件“圆的直径垂直于弦”，也可表述为“圆的半径垂直于弦”，或者“圆心到弦的垂线段”.这样，学生在实际问题背景下，可灵活运用垂径定理来解决数学问题.

(3) 例题1是垂径定理的初步运用。学生有可能还是习惯用等腰三角形“三线合一”来证明，要引导学生对不同的证明方法进行比较，帮助学生理解新的定理在几何证明中所起的作用，看到不同证明方法之间的联系和课本中证明过程的简约.

(4) 例题2 是运用垂径定理解决简单的实际数学问题.本题的背景赵州石拱桥，教学时要指导学生如何将现实生活中的数学问题抽象为数学模型，要关注这个转化的过程，渗透数学建模思想.同时，可结合本例渗透“两纲”教育，激发学生的爱国热情。例题中有拱高，后面又提出了弓形的概念，教学时要向学生解说，并注意“边款”中对“弓形”与“拱形”两个概念的区别的说明。

(5) “问题1”和“问题2”都是为导出垂径定理的推论进行“问题驱动”，是从构造垂径定理的逆命题的角度提出来的，也体现了分类讨论的数学思想.

(6) 例题3是垂径定理推论的初步运用，解题过程中用到锐角三角比知识，主要考虑到简化计算过程.

(7) 例题4是运用垂径定理的推论作图———等分一条已知弧。可先让学生独立思考作图的方法，然后共同说明作图的依据，并作总结.通过此例，可让学生归纳：要平分一条线段或圆弧，只要作出这条线段或联结这两点的的垂直平分线.结合这道例题，也可要求学生找出这条弧所在圆的圆心位置，并说出作图的理由.

（8） 例题5是运用垂径定理的推论进行几何计算。在解题过程中，通过构造直角三角形、运用勾股定理来求圆中的线段长，有一定的综合运用要求，要引导学生把握知识之间的联系和构造直角三角形的基本方法。

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（9） 例题6是垂径定理推论的综合运用.要指导学生联系关于同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理分析证明思路.证题后，可提出将题中的条件“AB=CD”与结论“PA=PC”对调，请学生思考如何证明.

（10）在例题7中，由于两平行弦间的距离大于圆的半径，因此这两条弦在圆心的两侧。如果两平行弦间的距离小于圆的半径，那么这两条弦可能在圆心的两侧，也可能在圆心的同侧。完成例题7的教学后，要提醒学生注意在一般情况下两平行弦与圆心的位置关系特征，使学生对练习26.3（3）第3题的分析全面些。

3．练习答案

练习26.3（1） 1．OC=26.

2．(1)OD=253cm；(2)∠AOB=60°. 3.（1）AB=2AD=4cm；（2）弧AC=

12弧AB=2.5cm.

4. 提示：连结OP；过点P作AB⊥OP，AB交⊙O于A与B两点,则弦AB为所作. 练习26.3（2）

1. (1)弧BD所对的圆心角的大小为120°；

(2)OC垂直平分BD.因为平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

2. 在圆砂轮片上任意画两条弦,再作这两条弦的垂直平分线,这两条垂直平分线的交点就是圆心.

3．(1)∠AOB=30° ；(2)CD=练习26.3（3）

1．提示：由PA=PC,PB=PD,推出AB=CD.

2．提示：由△OEF是等腰直角三角形,可得OF=EF=2,所以DF=7-2=5,CD=2DF=10cm. 3．AB和CD之间的距离为1cm或7cm.

26.4直线与圆的位置关系（1课时）

12AC=

32cm.

1．教学目标

(1)理解直线与圆的三种位置关系.

(2)掌握直线与圆的位置关系用数量关系所描述的性质与判定,并能初步运用它们解决

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