GCT数学真题2004至2013年真题超全解析 - 图文

GCT数学2004-2013年真题与答案解析 Page 21 of 81

C．2个极值点，1个拐点

D．3个极值点，3个拐点

r18．设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r。在正圆锥的体积最大时，=（ ）。

h1A．B．1 C．2 D．3 2 219．设a?0，则在?0,a?上方程?x04a2?t2dt??xa14a?t22dt?0根的个数为（ ）。

A．0 B．1 C．2

20．如图所示，曲线P=f(x)表示某工厂十

P年间的产值变化情况。设f(x)是可导函数，从图

形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）。

A．前两年越来越慢，后五年越来越快 B．前两年越来越快，后五年越来越慢 C．前两年越来越快，后五年越来越快

0D．前两年越来越慢，后五年越来越慢

21．如图所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期 函数，它在?0,2?上的图形为分段直线，g(x)是线性函 数，则?f(g(x))dx?（ ）。

02D．3

P=f (t)25y10y=g(x)t（年）1y=f (x)1 22C．

3A．

B．1

?13012x3D．

2

?101??，E为三阶单位矩阵.若三阶矩阵Q满足关系AQ?E?A2?Q，则Q02022．设A?????101???的第一行的行向量是（ ）。

A．(101) B．(102) C．(201) D．(202)

23．三阶矩阵A的秩r(A)?1，?1?(?130)T，?2?(2?11)T，?3?(50k)T是方程组 AX?0的三个解向量，则常数k?（ ）。

A．?2 B．?1 C．2 D．3

24．已知向量组?,?,?线性无关，则k?1是向量组??k?，??k?，???线性无关的 （ ）。

A．充分必要条件

C．必要条件，但非充分条件

B．充分条件，但非必要条件 D．既非充分也非必要条件

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?200??200????25．矩阵A???001?，B??0y1?，若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中?01x??00?1?????（ ）。

A．x?1，y?1

B．x?0，y?1

C．x??1，y?0

D．x?0，y??1

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2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1．【答案】C

111111【解析】原式=(11+22+33+44+55+66+77)?(?????)

248163264111??(11?77)?7264216363=??308?1??308??308，故应选C。

126464641?22．【答案】D

【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有x人，既有电脑又有手机的共有y人。

?x?y?76则由已知得：?，解得：x=3，y=73。故正确答案为D。

y?15?88?3．【答案】B

【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。

因为AB//MN，则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离，又因为AB与小半

1圆相切，则这个距离为r。得到R2?r2?(AB)2?25。

211??阴影部分面积=A大半圆?A小半圆??R2??r2=(R2?r2)??25?12.5?cm2。

2222故应选B。 4．【答案】C

2??x?2006x?2007，x≥0【解析】方法一，直接求解。原方程等价于方程组?2??x?2006x?2007，x?0①②

由①得：x??1（舍去），x=2 007；由②得：x=1（舍去），x??2007。 实数根之和=2 007?（?2 007）=0，故应选C。

方法二，函数f(x)?x2?2006x?2007为偶函数，则方程f(x)?0的根关于y轴对称，且成对出现，故这些根的和为0 。

5．【答案】B

【解析】如图所示。根据图形对称性得：AE?C?E?x

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因为BE?EC??BC??BC?8

所以BE?8?EC??8?x。在Rt△ABE中，

C'BE2=AB2?AE2，即(8?x)2=x2?42

解方程得：AE=x=3。阴影△BED的面积 A△BED= A△ABD? A△ABE?1?4?8?1?4?3?10。

22故应选B。 6．【答案】A

22AED4B8C1i2【解析】因为i??1，所以1??i。复数z?????i，故其共轭复数z?i，应选A。

ii7．【答案】D

?20?【解析】设取出球后容器中水面的高度为h，则水的体积V水????h?100?h。

?2?20?4?10?1??V容器?V球????10???8?100?。 取出球前V水????3?2?3?2?11?，得：100?h?8?100?，则h?8。 因为取球前后水的体积不变，即V水?V水33故应选D。 8．【答案】A

b【解析】的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增

ay大而增大。因此从右图中可以看出：

p?b?当P点与A点重合时，OP斜率最大，即???；

?a?maxmq?b?当P点与C点重合时，OP斜率最小，即???。

?a?minn故应选A。

9．【答案】B

【解析】量杯中剩余的酒精量为10?49%=

10?a10?a??a，整理得a2?20a?51?0。

10解方各得a?3或a?17（舍去），故应选B。 10．【答案】B

A(m, p)D(n, p)232p(a, b)B(m, q)OC(n, q)x1AB?r。2同理在椭圆面内作OD⊥AB交椭圆于点D，连接CD。OD是椭圆的半长轴，长度设为b，且D点是C点的投影点，则CD平行于光线，即∠ODC为光线与地平面所成的角。

【解析】过线段AB的中点O在木板半圆面内作OC⊥AB交半圆于点C，则OC=