高中数学(人教B版 选修2-1)第3章 空间向量与立体几何 空间向量及其运算3

1．掌握空间向量的夹角与长度的概念．

2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 空间向量的夹角

阅读教材P85～P86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题． 1．夹角的定义

→→

已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

图3-1-20

2．夹角的范围

空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π；当〈a，b〉＝时，两向量________，记作________．

2

【答案】 π 垂直 a⊥b

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)〈a，b〉与(a，b)都表示直角坐标系下的点．( ) →→

(2)在△ABC中，〈AB，BC〉＝∠B.( )

→→(3)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AB与A′C′的夹角为45°.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√

教材整理2 空间向量的数量积及其性质

阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．

1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.

【答案】 |a||b|cos〈a，b〉 a·b 0 0 2．空间向量数量积满足下列运算律

1

(1)(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a；

(3)分配律：(a＋b)·c＝________. 【答案】 a·b＋b·c 3．空间向量数量积的性质

若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则 (1)e·a＝a·e＝|a| cos θ； (2)a⊥b?a·b＝0；

(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；

a·b(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝；

|a||b|(5)|a·b|≤|a|·|b|. 【答案】

a·a

下列式子中正确的是( ) A．|a|a＝a2 C．a(a·b)＝b·a2

B．(a·b)2＝a2b2 D．|a·b|≤|a||b|

【解析】 根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D. 【答案】 D

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________

[小组合作型]

空间向量数量积的运算 →→

(1)如图3-1-21，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝AC，则在向量AB，BC，

→→→→

CA，PA，PB，PC中，夹角为90°的共有( )

2

图3-1-21

A．6对 B．5对 C．4对

D．3对

→→

(2)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF＝________.

图3-1-22

(3)如图3-1-22所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求下列数量积： →→①AB·BA1＝________； →→②AB·BC1＝________.

→→→→→→→→→→

【自主解答】 (1)AB与BC，PA与AB，PA与BC，PA与CA，PB与BC夹角为90°. →→?→1→?1→(2)AE·AF＝?AB＋2BC?·AD

2

1→→1→→121＝AB·AD＋BC·AD＝acos 60°＝a2. 2424→→(3)①AB·BA1＝1×2cos 135° ＝－1；

→→→→→②AB·BC1＝AB·(BC＋CC1) →→→→＝AB·BC＋AB·CC1 ＝0.

1

【答案】 (1)B (2)a2 (3)①－1 ②0

4

1．求两向量数量积的解题思路

3

(1)解模：解出两向量的模．

(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)求结果：使用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉得结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．

[再练一题]

1．已知空间向量a，b满足|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角为150°，求下列各式的值． (1)a·b；(2)(a＋2b)·(2a－3b)．

【解】 (1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝4×8×cos 150°＝4×8×?－

3?

2??＝－163. (2)(a＋2b)·(2a－3b)＝2a2＋a·b－6b2

＝2|a|2＋|a||b|cos 150°－6|b|2＝2×42－163－6×82＝－352－163.

求两个空间向量的夹角 如图3-1-23，在正方体ABCD-AD→→1B1C11中，求BC1与AC夹角的大小．

图3-1-23

【精彩点拨】 (1)怎样用向量AB→，AD→，AA→→→

1表示向量BC1与AC？ (2)求两向量的夹角公式是怎样的？ 【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1， BC→·AC→＝(BC→＋CC→→→11)·(AB＋BC) ＝(AD→＋AA→→→1)·(AB＋AD)

＝AD→·AB→＋AD→2＋AA→→→→1·AB＋AA1·AD ＝0＋AD→2＋0＋0＝AD→

2＝1， 又∵|BC→→

1|＝2，|AC|＝2，

∴cos 〈BC→→

BC→→1，AC〉＝1·AC11|BC→→＝1||AC|2×2＝2. ∵0°≤〈BC→→

1，AC〉≤180°，

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