八年级数学下册《黄金分割》教案 北师大版

(4)若MN=a,则MP≈______,NP≈______.

解析：已知点P是线段MN的黄金分割点(MP＞NP)，根据“

短长5?1，???0.618”

长全2可以得出“短≈长×0.618，长≈全×0.618，短=全-长”再代入具体的数字或字母求出即可． 处理方式：先出示练习一，对于每道题目组织学生以举手的形式表达自己的观点，然后

让对错两方的同学分别发言，最后统一结论，组织学生发言时要适时地引导学生认识到“特别提示”所指出的内容．

处理练习二时，要让学生将计算落实到纸面上，而不是空想． 师：同学们知道吗——中世纪意大利的数学家菲波那契测定了大量的人体后得知，人体肚脐以下的长度与身高之比接近0.618，其中少数人的比值等于0.618的被称为：“标准美人”．那现在同学们能不能来说一下芭蕾舞演员为什么要立起脚尖跳舞？

生：她是为了增加自己下半身的长度，而使肚脐以下的长度与身高之比接近0.618． 师：这也是为什么好多女性喜欢穿高跟鞋的原因，大家都想使自己的身材比例更加的接近黄金比．当然我也不例外．

学生不约而同的将目光集中到了老师的高跟鞋上．

师：还有刚才李传秀同学给新主持人的建议是为了什么？ 生：要使主持人站在主席台的黄金分割点上．

设计意图：通过对概念的进一步分析、相关练习以及解决“情境创设”部分留下的问题这三个小环节，依据学生已有的知识背景和活动经验，为学生提供了操作、思考与交流的机会．对自读探知的疑惑明了，使学生对“黄金分割”这一概念有明确的认识．增强合作交流意识，让学生在合作交流中体验成功与快乐．

活动三：师生互动——创造美

以把这个问题转化为在一条长为2个单位的线段上截取一段线段使它的长度为（5?1）个单位．同学们不妨先来尝试一下．

大多数同学面露难色，但还是积极讨论．

师：好了，同学们，这一组尺规作图的思路非常巧妙，我们一起来欣赏一下吧． 动画演示边画边解释做法：

如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=

1AB. 2（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

师：下面先请同学们仿照老师的作法画出上图，然后

5

探索作法的正确性.自己有困难时可以互相交流，试着证明一下以上结论.

生模仿作图，并探究作法的正确性，教师参与其中，共同证明，加以提示. 生：设AB＝2a，则 BD=DE=a

AD?(2a)2?a2?5a?AC?AE?AD?DE?5a?a?(5?1)a ?AC(5?1)a5?1??AB2a2师：这只是黄金分割点的一种做法，同学们如果有兴趣的话可以上网搜索一下，一定会

有所收获．

设计意图：本环节的主要目的就是通过操作应用来巩固黄金分割点的作法，锻炼学生动手操作的能．共分为四小步：激发兴趣、作图演示、模仿作图、验证做法的合理性．

活动四：欣赏拓展——感悟美 师：刚才有同学说了五角星是一个非常完美的图案．那它完美在哪儿呢？是不是还有什么我们没有发现呢？请同学们找一找五角星中还有哪些黄金分割点，并用字母标记在课本109页的图4—4上．

学生开始寻找．老师邀请一位学生到电脑上进行标记（flash课件，学生只需要将字母拖动到相应的位置上即可）．

D

E G

F

生：如图，C,D,E,F,G点分别是它们所在线段的黄金分割点． 师：面对这样的事实，我们不得不说五角星是完美的． 设计意图：承上启下．

三、应用拓展——应用美 （1）黄金矩形

师：中世纪的数学家开普勒对黄金分割作了很高的评价．他说：“几何学有两大宝藏：一个是勾股定理，另一个是黄金分割．”黄金分割在现实生活中应用广泛，而且历史悠久．大家请打开课本111页．我找一位同学来朗读一下．

生：图4—7是古希腊时期的巴台农神庙，如果用图中的虚线表示的矩形画成如图4-8所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇的发现，

BCAB?．点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ BEBC 6

生分组讨论，充分交流后尝试证明．师巡视，注意倾听学生的讨论，重点发现不同的思路已安排随后的交流汇报．

BCAB??k,则BC?kBE,AB?kBC,由题意可知， BEBCAEBCBC1BEBEBE1???，???， ABABkBCkAEBCkBEkAEBE?∴，即点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比． ABAE生1：设

师：刚才巡视的过程中我发现同学们还有其他的推理方法．谁再来说一下？ 生2：∵四边形ABCD是矩形

∴AD=BC

∵四边形ADFE是正方形 ∴AD=AE ∴AE=BC

BCAB? BEBCAEAB?∴ BEAE∵

由比例式的基本性质可得

BEAE? AEAB∴点E是AB的黄金分割点，矩形ABCD的宽与长的比是黄金比．

师：实际上，像这种宽与长的比是黄金比的矩形就叫做是黄金矩形．它可以用上述的方法无限切割下去，得到一个个越来越小的黄金矩形.

课件出示：

（2）生活中的黄金分割

师用课件展示另一组古今图片（建筑与黄金分割：巴黎圣母院、巴黎埃菲尔铁塔、加拿大多伦多电视塔；艺术与黄金分割：著名油画蒙娜丽莎、小提琴、芭蕾舞；人体与黄金分割：脸型、身材、舒适的温度；自然与黄金分割：向日葵花盘、松子等．）

学生欣赏感悟．

7

师：我展示的这些只不过是黄金分割在生活中应用的九牛之一毛，同学们有兴趣的话可以到网络上搜索一下，一定会有更深的感悟．

设计意图：介绍黄金分割在现实生活中的广泛运用，加深对本节知识，陶冶学生情操，进一步体会黄金分割的人文价值．

（3）巩固知识，随堂练习——黄金分割点的另外作法 师：实际上我们的课本中还介绍了一种黄金分割点的作法，请同学们阅读课本111页的“随堂练习1”，重点思考这种作法的道理．

课件出示：

任意作一条线段采用如下方法也可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点.你能说说这种作法的道理吗？

学生在小组内讨论形成思路后在练习本上写出简要的推理过程．师组织学生回答问题． 生：设AB的长度为2a，则AE的长度为a，由题意可知

BE?AB2?AE2?5a，

AF?EF?AE?BE?AE?5a?a?(5?1)a

在正方形AFGH中，

AH?AF?(5?1)a

∴

AH(5?1)a5?1，即点H就是AB的黄金分割点. ??AB2a2师：同学们能不能总结一下如何证明一个点是一条线段的黄金分割点？ 生1：证明

短长?． 长全生2：也可以证明

短5?1长5?1． ?,或是?全2长2设计意图：目的在于呈现作黄金分割、点的另一种方法，并将两种方法的本质做一小

结．

四、课堂小结——收获美

师：现在请同学们回顾本节课所学的内容，说说看你有什么收获？ 生1：我知道了黄金分割、黄金矩形定义． 生2：我学会了作线段黄金分割点的两种方法． 生3：我感受到了黄金分割的美． 生4：我认识到黄金分割的应用广泛． …… ……

师：同学们还有那些疑惑？ 生：没有了．

8