2 华东师范大学第二附属中学（创新班和理科班用）数学（高中上册）-2

第二章 不等式

Inequality

§2．1不等式的性质

1．两个实数a与b之间的大小关系 （）??a?b??a?b；?（ ??）a?b???a?b；?(?)a?b???a?b.??a?(?)b???a?b；??a若a、b?R?，则?(?)???a?b；

b??a?(?)b???a?b.?2．不等式的性质 （1）（对称性或反身性）a?b?b?a；

b?c?a?c； （2）（传递性）a?b，（3）（可加性）a?b?a?c?b?c，此法则又称为移项法则； c?d?a?c?b?d； （同向可相加）a?b，c???ac?bc；a?b，c???ac?bc； （4）（可乘性）a?b，c?d???ac?bd； （正数同向可相乘）a?b??，（5）（乘方法则）a?b???n?N??an?bn??； （6）（开方法则）a?b?o?n?N，n≥???na?nb??；

???. ab我们证明性质（4）如果a?b，且c??，那么ac?bc；如果a?b，且c??，那么ac?bc. （7）（倒数法则）a?b，ab???证明：ac?bc??a?b?c. ?a?b，?a?b??.

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得 当c??时，?a?b?c??，即ac?bc； 当c??时，?a?b?c??，即ac?bc.

由性质（4），又可以得到：

推论：如果a?b??，且c?d??，那么ac?bd．（同学们可以自己证明）

很明显，这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向，由此，我们还可以得到：

如果a?b??，那么an?bn?n?N，且n≥??.

?≤f???≤?，求f????的取值范围. 例1．设f?x??ax??bx，且?≤f????≤?，解：因?≤f?????a?b≤?，?≤f????a?b≤?，为 所以?≤f?????f?????a≤?， 又f??????a??b??a??b??a， 所以?≤f????≤??.

b，c，使不等式例2．已知二次函数f?x??ax??bx?c的图像过点???，??，问是否存在常数a，1??x??对一切x?R都成立？ ?2b，c，满足题意， 解：假设存在常数a，x≤f?x?≤?f?x?的图像过点???，??， ?f?????a?b?c??

又?不等式x≤f?x?≤???x??对一切x?R都成立， ?????????，即?≤a?b?c≤?， ??当x??时，?≤f???≤?a?b?c??

??由①②可得：a?c?，b?，

???????f?x??ax??x???a?，

????由x≤f?x?≤????????x??对一切x?R都成立得：x≤ax??x???a?≤???x??恒成立， ?????????????ax?x??a??≥???的解集为R， ????????a???x??x??a≤???a??????a???????且?， ?????a?a≤????a?a??≤???????????????a??a?????即?且?， ?????a≤????????a?≤???????a?，?c?，

????????存在常数a?，b?，c?使不等式x≤f?x?≤???x?对一切x?R都成立.

????例3．已知f?x??x????a???x??，