高三数学二轮复习教案 专题二 第1讲 三角函数的图像与性质

专题二 三角函数、解三角形、平面向量

第1讲 三角函数的图象与性质

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真题感悟

1．(2012·浙江)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是

解析 利用三角函数的图象与变换求解．

结合选项可知应选A. 答案 A 2．(2012·湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sinωx,23cos ωx)，设?1?函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω、λ为常数，且ω∈?2，1?.

??(1)求函数f(x)的最小正周期；

3π??π??

(2)若y＝f(x)的图象经过点?4，0?，求函数f(x)在区间?0，5?上的取值范围．

????解析 (1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋23sin ωx·

cos ωx＋λ

π??

＝－cos 2ωx＋3sin 2ωx＋λ＝2sin?2ωx－6?＋λ.

??

由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，

π??2ωπ－可得sin?＝±1. 6???ππk1

所以2ωπ－6＝kπ＋2(k∈Z)，即 ω＝2＋3(k∈Z)．

5?1?

又 ω∈?2，1?，k∈Z，所以k＝1，故ω＝6.

??

6π

所以f(x)的最小正周期是5. ?π??π?(2)由y＝f(x)的图象过点?4，0?，得f?4?＝0，

????

π?5ππ?

即λ＝－2sin?6×2－6?＝－2sin4＝－2.

??

?5π?即λ＝－2，故f(x)＝2sin?3x－6?－2.

??

3ππ5π5π

由0≤x≤5，有－6≤3x－6≤6，

1? 5π?所以－≤sin?3x－6?≤1，

2??

?5π?得－1－2≤2sin?3x－6?－2≤2－2，

??3π

故函数f(x)在[0，5]上的取值范围为[－1－2，2－2]．

考题分析

本节内容高考的重点就是利用三角函数性质，如奇偶性、单调性、周期性、对称性、有界性及“五点作图法”等，去求解三角函数的值、求参数、求最值、求值域、求单调区间等问题，三角函数的图象主要考查其变换，题型既有选择题也有填空题，也有解答题，难度中等偏下．

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高频考点突破

考点一：三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用

【例1】(2012·北京东城模拟)在平面直角坐标系xOy中，将点A(1，3)绕原点O顺时针旋转90°到点B，那么点B的坐标为________；若直线OB的倾斜角为α，则sin 2α的值为________． [审题导引] 根据三角函数的定义求出点B的坐标，进而求出角α，可求sin 2α.

[规范解答] 如图所示， ∵点A的坐标为(3，1)， ∴∠AOx＝60°，又∠AOB＝90°，∴∠BOx＝30°， 过B作BC⊥x轴于C， ∵OB＝2，

∴OC＝3，BC＝1，

∴点B的坐标为(3，－1)，

5π5π

则直线OB的倾斜角为6，即α＝6，

5π2π3

∴sin 2α＝sin 3＝－sin 3＝－2. 3

[答案] (3，－1) －2 【规律总结】

三角函数的定义与诱导公式的应用

(1)三角函数的定义是推导诱导公式及同角三角函数基本关系式的理论基础，应用三角函数的定义求三角函数值有时反而更简单．

(2)应用诱导公式化简三角函数式，要注意正确地选择公式，注意公式的应用条件． 【变式训练】 1．(2012·惠州模拟)在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为 5π??ππ???π??π5π??π??5π3π?A.?4，2?∪?π，4? B.?4，π? C.?4，4? D.?4，π?∪?4，2? ????????????

?π5π?解析 在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x＞cos x，则x∈?4，4?.

??

答案 C

π?1?

2．(2012·海淀一模)若tan α＝2，则cos?2α＋4?＝________.

??

π??

解析 cos?2α＋2?＝－sin 2α＝－2sin αcos α

??

＝－

2sin αcos α2tan α

＝－22＝－sinα＋cosα1＋tan2α

4

＝－

5. ?1?2

1＋?2???

12×2

4

答案 －5 考点二：三角函数图象变换及函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

π??

【例2】(1)(2012·宿州模拟)函数y＝sin?2x＋3?的图象可由y＝cos 2x的图象经过怎样的变换得

??到

π

A．向左平移6个单位

π

B．向右平移6个单位

ππ

C．向左平移12个单位 D．向右平移12个单位

(2)(2012·泰州模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所

?π?示，则f?6?的值是________．

??

[审题导引] (1)应用诱导公式把两个函数化为同名函数，然后比较二者的差异可得；

(2)先由图象求出f(x)的周期，从而得ω的值，再由关键点求φ，由最小值求A，故得f(x)，可求f.

π??

[规范解答] (1)y＝sin?2x＋3?

??

π??π??π??2x＋??2x－＝cos? 2－?＝cos? 3??6?????π??

＝cos 2?x－12?，

??

π?π?

故函数y＝sin?2x＋3?的图象可由y＝cos 2x的图象向右平移12个单位得到，故选D.

??T7ππ

(2)如图所示，4＝12π－3＝4， ∴T＝π.则ω＝2.

ππ又2×3＋φ＝π，∴φ＝3， 又易知A＝2，