数学竞赛训练题--选择题(每题含详解)

2y?1?f(?x)?y??1f?1(?x)?1，

28.解答为 A。分母=(sin2x?cos2x)(sin4x?cos4x?sin2xcos2x)?2sin2xcos2x

44 ?sinx?cosx?s2ixn2。也可以用特殊值法

cxos9.解答．C. PQ?QR?PR，

即r?(k?1)?(r?1)?k?10.解答：A。

22222，解得r=k=1?3。 23设等差数列的公差为d，等比数列公比为q,由a1?b1?4,a4?b4?1，得d=-1,q=324。 得a2?3,b2?22;a3?2,b3?4;a5?0,b5?;a6??1,b6?243332211.解答：D. Tr?1?C152,由Tr?Tr?1，Tr?2?Tr?1?12.解答： D。函数f(x)?cosrr2932?r?，r=10，第11项最大。 33x?为偶函数，在（0，）上，f(x)?cosx为减函数，而52loge1???loge?,log?111??,log12?2loge?， eloge?e?0?loge?2loge??1???，所以b?a?c。

5loge?55413解：由待定系数法或线性规划可得。

14答案：C．解：当0?a?1时，y?logax是递减函数，由于t?x?ax?1没有最大值，

22所以y?logax?ax?1没有最小值；当a?1时，y?logax?ax?1有最小值等价于

2????t?x2?ax?1有大于0的最小值．这等价于??a2?4?0，因此1?a?2．

2a2?b2t2?2??t??22，15答案：A.解：记a?b?t，则t?0，（当且仅当

tta?bt?2,即a?6?26?2,b?时取等号）．故选A． 22t2?116答案：D．解：设sinx?siny?t，易得cosxcosy?sinxsiny?，即

2t2?1t2?1cos?x?y???1，．由于?1?cos?x?y??1，所以?1?解得 ?3?t?3．

2217答案：B解：（用排除法）令n?1，则得f[f(1)]?3． 若f(1)?1，则f[f(1)]?f(1)?3，与f(1)?1矛盾；

若f(1)?3，则f[f(1)]?f(3)?3，与“f(x)在(0,??)上单调递增”矛盾；

若f(1)?4，则f[f(1)]?f(4)?3，也与“f(x)在(0,??)上单调递增”矛盾．故选B． 18.A 提示：当x??2时，x?f(x)?xf(x)??2?f(?2)为奇数，则f(?2)可取1、3、5，有3种取法；当x?0时，x?f(x)?xf(x)?f(0)为奇数，则f(0)可取1、3、5，有3种取法；当x?1时，x?f(x)?xf(x)?1?2f(1)为奇数，则f(1)可取1、2、3、4、5，有5种取法。由乘法原理知共有3?3?5?45个映射

19 B提示：f(x)与g(x)的图象在x轴上有公共点(1,0)，∴g(1)?0,即a?b?0.

1b11''',g(x)?a?2,由题意f(1)?g(1)?1,即a?b?1,∴a?,b?. x22x1111111),则F'(x)???2??(?1)2?0 令F(x)?f(x)?g(x)?lnx?(x?22xx22x2x∵f'(x)?∴F(x)在其定义域内单调递减.由∵F(1)?0,∴当x?1时,F(x)?0,即f(x)?g(x). 20. B 提示：易知异面直线AC与BC1所成的角为600，因此，本题等价于：已知直线a与b所成的角为600，则过空间一点P且与a、b所成的角都是600的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。

21解：若取出的３个数构成递增等比数列 a,aq,aq，则有1?a?aq?aq?169。由此有2?q?13。当q固定时，使三个数a,aq,aq为整数的a的个数记作N(q)。由

222aq2?169，知N(q)应是

N(4)?10N(5)?6169?169??169?的整数部分。，N(2)??42N(3)??18，22?2???q?3??2?N(6)?4N(7)?3

N(8)?2 N(9)?2 N(10)?N(11)?N(12)?N(13)?1. 因此，取法共有N(1)?N(2)???N(13)?91。22．C提示：利用等体积法，可以求出

m2?，所以m?n等于6. n3423．D 提示：任选4点，共有C10?210个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平

行于直径的5条平行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为

2．

724答案：C.解： 设x2?y2?2008，即(x?y)(x?y)?2008．2008有8个正因数，分别为1，2，4，8，251，502，1004，2008．而且(x?y)与(x?y)只能同为偶数，因此对应的方程组为

?2?4?502?1004245021004?x?y? ??2100450242?x?y??1004?502?4故?x，y?共有8组不同的值：(503,501),(?503,?501),(?503,501),(503,?501)；

(253,249),(?253,?249),(?253,249),(253,?249)．

25.A提示：由二项式定理知易证[(26?5)2n?1?(26?5)2n?1]?Z，因此(26?5)2n?1与(26?5)2n?1的小数部分完全相同。

?0?26?5?126?5?112n?1?()2n?1，即(26?5)2n?1的小，?0?(26?5)1010数表示中小数点后面至少接连有2n?1个零，因此，(26?5)2n?1的小数表示中，小数点后至少连续有2n?1个零。

26.D提示：（方法一）由椭圆的定义知F1Pi?F2Pi?2a(i?1,2,?,99)，

??(F1Pi?F2Pi)?2a?99?198a.由题意知P1,P2,?,P99关于y轴成对称分布，

i?19999199??(F1Pi)??(F1Pi?F2Pi)?99a.又?F1A?F1B?2a，故所求的值为101a.

2i?1i?1（方法二）F1A?F1P1?F1P2+…?F1P99?F1B

?(a?exA)?(a?ex1)???(a?ex99)?(a?exB)

?101a?e(xA?x1?x2??x99?xB)?101a.（A,P1,P2,?,P99,B关于y轴成对称分布）