2021版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数与函数的单调性高效演练分层突破文新人教A版

答案：(－∞，－1)

13a2

3．设函数f(x)＝x－x＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

32(1)求b，c的值；

(2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间；

(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

解：(1)f′(x)＝x－ax＋b，

???f（0）＝1，?c＝1，

由题意得?即?

??f′（0）＝0，b＝0.??

2

故b＝0，c＝1.

(2)由(1)得，f′(x)＝x－ax＝x(x－a)(a＞0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x－ax＋2<0成立．

2

则存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立，

2

2

2

x2??即－a>?－x－??x?min

.

因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)， 2

则－x－≥2

x?2?（－x）·?－?＝22，

?x?

x2

当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立， 所以－a>22，则a<－22.

所以实数a的取值范围为(－∞，－22)．

1e2

4．(2020·成都七中检测)设函数f(x)＝ax－a－ln x，g(x)＝－x，其中a∈R，e＝

xe2.718…为自然对数的底数．

(1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x>1时，g(x)>0.

12ax－1

解：(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)．

2

xx当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当a>0时，由f′(x)＝0有x＝当x∈?0，当x∈?

12a，

??

1??时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 2a?

?1，＋∞?

?时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

?2a?

x－1

(2)证明：令s(x)＝e－x，则s′(x)＝e

x－1

－1.当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)>s(1)，

>x，从而g(x)＝1ee（ex－1

即ex－1

－x）x－ex＝xex>0.