高中数学人教a版高二选修4-5 - 第一讲 - 不等式和绝对值不等式 - 学业分层测评3 有答案

学业分层测评（三）

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是( ) A．(－∞，lg 6] C．[lg 6，＋∞)

B．(－∞，3lg 2] D.[3lg 2，＋∞)

3

【解析】 ∵6＝x＋y＋z≥3xyz， ∴xyz≤8. ∴lg x＋lg y＋lg z ＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2. 【答案】 B

1

2．已知x∈R＋，有不等式：x＋x≥2

3xx414xx4

x·x＝2，x＋x2＝2＋2＋x2≥32·2·x2＝3，?.启发

a

我们可能推广结论为：x＋xn≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )

A．nn B．2n C．n2 D．2n＋1 a

【解析】 x＋xn＝【答案】 A

3．设0

1184A.8 B．1 C.3 D.27 【解析】 ∵0

1

∴x(1－x)＝2·2x·(1－x)·(1－x)

2

a

＋xn，要使和式的积为定值，则必须nn＝a，故选A.

1?2x＋?1－x?＋?1－x??34

?＝. ≤2?3??271

当且仅当x＝3时，等号成立．

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【答案】 D

a＋b＋c34．已知a，b，c∈R＋，x＝3，y＝abc，z＝

a2＋b2＋c2，则( ) 3

【导学号：32750016】

A．x≤y≤z C．y≤z≤x

B．y≤x≤z D.z≤y≤x

2222

a＋b＋c32a＋b＋c2?a＋b＋c?【解析】 由a，b，c大于0，易知3≥abc，即x≥y.又z＝，x＝，

39

a2＋b2＋c2＋2?ab＋bc＋ca?3?a2＋b2＋c2?a2＋b2＋c2

且x＝≤＝，

993

2

∴x2≤z2，则x≤z， 因此z≥x≥y. 【答案】 B

5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为( ) A．2 C．8

B．7 D.1

xx6

【解析】 ∵6＝x＋3y＋4z＝2＋2＋y＋y＋y＋4z≥6x2y3z， x

∴x2y3z≤1，当2＝y＝4z时，取“＝”， 1

即x＝2，y＝1，z＝4时，x2y3z取得最大值1. 【答案】 D 二、填空题

a＋b

6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．

b＋c2a＋b＋c

【解析】 由题意知a＋(b*c)＝a＋2＝，

2?a＋b?＋?a＋c?2a＋b＋c

(a＋b)*(a＋c)＝＝，

22所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)． 【答案】 a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c) 7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋

1

的最小值为________．

?a－2??b－3?

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【解析】 ∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0， 则a＋b＋

3

11

＝(a－2)＋(b－3)＋＋5

?a－2??b－3??a－2??b－3?

1

＋5＝8.

?a－2??b－3?

≥3?a－2?×?b－3?×

当且仅当a－2＝b－3＝【答案】 8

1

，即a＝3，b＝4时等号成立．

?a－2??b－3?

11

8．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，对于下列不等式：①abc≤27；②abc≥27；③a21

＋b2＋c2≥3. 其中正确的不等式序号是________． 【解析】 ∵a，b，c∈(0，＋∞)， 3

∴1＝a＋b＋c≥3abc， 11?1?

0

??

从而①正确，②也正确．又a＋b＋c＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)＝1，

1

因此1≤3(a＋b＋c)，即a＋b＋c≥3，③正确．

2

2

2

2

2

2

3

【答案】 ①②③ 三、解答题

1112

9．已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋（a＋b＋c）≥63，并确定a，b，c为

2

2

2

何值时，等号成立．

【证明】 因为a，b，c均为正数，由算术-几何平均不等式，得a2＋b2＋c2≥3(abc)，

-1113＋＋≥3(abc). abc

-?111?2

所以?a＋b＋c?≥9(abc)3.

??

2

1

2

3

①

②

?111?2

故a＋b＋c＋?a＋b＋c?

??

2

2

2

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≥3(abc)＋9(abc).

又3(abc)＋9(abc)≥227＝63， ③ 所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc)＝9(abc)时，③式等号成立． 4

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立． 10．已知x，y，z∈R＋，x＋y＋z＝3. 111

(1)求x＋y＋z的最小值； (2)证明：3≤x2＋y2＋z2<9.

11133

【解】 (1)因为x＋y＋z≥3xyz>0，x＋y＋z≥>0，

3xyz111?111?所以(x＋y＋z)?x＋y＋z?≥9，即x＋y＋z≥3，

??111

当且仅当x＝y＝z＝1时，x＝y＝z取最小值3. (2)证明：x2＋y2＋z2＝

x2＋y2＋z2＋?x2＋y2?＋?y2＋z2?＋?z2＋x2?

3x2＋y2＋z2＋2?xy＋yz＋zx?≥

3?x＋y＋z?2＝＝3.

3

又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0， 所以3≤x2＋y2＋z2<9.

[能力提升]

1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列总成立的是( ) 11

A．V≥π B．V≤π C．V≥8π D．V≤8π

6－4r6－4r

【解析】 设圆柱半径为r，则圆柱的高h＝2，所以圆柱的体积为V＝πr2·h＝πr2·2

2

3

2-3

23

2-3

232-3

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