错解剖析得真知数学必修五错题集

1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.

2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.

二、疑难知识导析

1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，

转化为解不等式解决；

2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；

3.等差数列中, am=an+ (n－m)d, 4.当m+n=p+q（m、n、p、q∈

; 等比数列中，an=amq;

n-m

）时，对等差数列｛an｝有：am+an=ap+aq；对等比数列

｛an｝有：aman=apaq；

5.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}(k、b是非零常数)是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；

6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9?）仍是等差（或等比）数列；

7.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶-S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈

）；

8.若一阶线性递推数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:

三、经典例题导讲 [例1]设

是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：

(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式.

。

错解：欲证

只需证＞2

即证：＞

＜

由对数函数的单调性，只需证

－

＝－

＝

＜

原不等式成立.

错因：在利用等比数列前n项和公式时，忽视了q＝1的情况.

正解：欲证

只需证＞2

即证：＞

＜

由对数函数的单调性，只需证由已知数列

>0,若则若

, , －

＝

是由正数组成的等比数列， .

＝－＜0；

－＝

＝－

＜

原不等式成立.

[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）

错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形

成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，

共经过的路程应为前10项之和.

即＝199（米）

错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.

正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过

了＝100（米）?因此到球第10次着地时共经过的路程为

＝

答：共经过300米。

300（米）

[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？ 错解：

年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a

18

为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r).

错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元. 正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息入手考虑，出生时的a元到18年时变为

18

a(1+r)，

17

1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，

16

2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，

??

1

17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)，

18171

a(1+r)+ a(1+r)+ ?+ a(1+r)

＝

＝

答：取出的钱的总数为。

[例4]求数列的前n项和。

解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则

当时，

当时，

[例5]求数列前n项和

解：设数列的通项为bn，则

[例6]设等差数列{an}的前n项和为Sn，且

求数列{an}的前n项和

，