错解剖析得真知数学必修五错题集

6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1q可改写为

n-1

.当q>0，且q1时，y=q

x

是一个指数函数，而是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝

的图象是函数

的图象上的一群孤立的点.

，n中任意三个，可求其余两个。

7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，

三、经典例题导讲 [例1] 已知数列A.等差数列 B.等比数列

C.既不是等差数列，也不是等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列 错解：

的前n项之和Sn=aq（

n

为非零常数），则为（ ）。

（常数） 为等比数列，即B。

错因：忽略了

正解：当n＝1时，a1=S1＝aq; 当n>1时，

中隐含条件n＞1.

（常数）

但

既不是等差数列，也不是等比数列，选C。

[例2] 已知等比数列错解：S30= S10·q .

2

的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于. q ＝7，q＝

2

， S40= S30·q =.

错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.

正解：由题意：得，

S40=

[例3] 求和：a+a+a+?+a.

2

3

n

.

错解： a+a+a+?+a＝

n

23n

.

错因：是（1）数列｛a｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1. 正解：当a＝0时，a+a+a+?+a＝0;

当a＝1时，a+a+a+?+a＝n;

2

3

n

2

3

n

当a1时， a+a+a+?+a＝

均为非零实数，

23n

.

，

。

[例4]设 求证：证明： 证法一：关于

∴ 则必有：

成等比数列且公比为

的二次方程

，∴

，即，

，∴非零实数代入

，即

，即

。

有实根，

成等比数列

设公比为，则 ∵证法二：∵

∴ ∴

，∴

，且

∵[例5]在等比数列 解： ∵

非零，∴

中，

。

，求该数列前7项之积。

，∴前七项之积

[例6]求数列前n项和

解： ①

②

两式相减：

[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？

(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的

质量分数为多少？

解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则：

a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()×0.2（kg）

2

由此可见：an= (

)?×0.2（kg）, a5= (

n1)?×0.2= (

51

)×0.2=0.0125（kg）。

4

(2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q=

答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg

盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。

四、典型习题导练

1.求下列各等比数列的通项公式：

1) a1=?2, a3=?8

2) a1=5, 且2an+1=?3an

3) a1=5, 且

2.在等比数列

，已知

，

，求，

.

3.已知无穷数列

求证：（1）这个数列成等比数列

（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的，

（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列

为

求此数列前项的和。

5.已知数列{an}中，a1=?2且an+1=Sn，求an ,Sn

6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成的数列{Sn}也是等比数列，且公比相同？ 7.在等比数列

中，

，求的范围。

错解剖析得真知（十二）

§4.3数列的综合应用

一、知识导学