十四 格点与面积

十四 格点与面积

同学们，既然我们要讨论的是格点与面积，那么我们首先得知道什么是格点.

在纸平面上，先画一系列的水平直线和一系列的竖(垂)直直线，使得任意两个相邻的交点间的距离均为一个单位，这样就在纸平面上建立了一个方格网.方格网中的每个交点就叫一个格点.

如图14－1就是一个方格网.显然，每一个小方格(如图中带阴影的小方格)就是一个面积单位.

如果方格网中有一个多边形，它的每个顶点均为格点，那么此多边形叫格点多边形(如图14－1中的多边形ABCDE)·

格点网中的一个封闭图形所含的格点数与图形的面积之间有许多我们还不知道的奇妙的联系.计算格点网中的图形所含的格点数与面积是一个十分有趣的课题.而且有时还能够通过这种计算去解决许多的实际问题.

但是要一般地研究这一问题需要较多的知识①RE000060_0104_0且非常困难.本节我们只研究格点多边形面积的计算及格点多边形中所含格点数与其面积的关系. 问题14.1 图14－2是一个方格网.网中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个.试利用方格网计算它们的面积.

分析 要计算图中四个图形的面积，只需要分别数出它们各自占多少个小格就可以了. 解（1）因为图14－2中长方形含有2×4= 8个小方格，故它的面积为8.

（2）由（1）的求解易知，水平放置的整点长方形所占的方格全是整格，故容易数得.现图中的三角形所占的不全是整格，给计算带来了困难.这时我们易产生一个想法：能否把此三角形转化成一个或几个平置的长方形再去计算呢？ 通过观察试验，可用两种方法实现这一转化：

方法1 由中间把三角形分成两层.对上一层把△1割下来正好补到△2的位置上；对下层把△3割下来补到△4的位置上，这样就得到了一个正方形和一个平置的长方形.它们共占4格，故原三角形面积为4.

方法2 按图中虚线把原三角形扩展成一个平置的长方形，易见长方形的面积正好是三角形的2倍.因此三角形的 面积为8÷2=4.

以上我们利用“割、补”和“扩展”两种方法把三角形的面积转化成了平置的长方形去

求.同样我们可用这两种方法去求图中的平行四边形和梯形的面积. （3）求梯形面积

解法1 把原梯形按虚线扩展一个完全相同的梯形即得一个长方形.故面积=[（2+4）×2]÷2=6. 解法2 把△6割下来，补到△5的位置上即得一长方形，其面积为（2+1）×2=6. （4）求平行四边形面积同样可用这两种方法（略）. 问题14.2 计算图14－3中三角形的面积.

分析 通过求解问题14.1我们已经会求方格网中至少有一边水平放置或竖直放置的简单图形的面积了.然而图14－3中的三角形在方格网中是斜放着的.同样，自然会想到：能否通过割补或扩展将这一新问题转化成有一边平置（或竖置）的图形呢？通过试画亦易得到两种解法。

解法1 沿虚线AB割开就变成了上、下两个三角形，它们都有一边是平置的，故可仿问题14.1“解（2）”去求（略）.

解法2 按图中外圈虚线把原三角形扩展成一个平置的长方形，面积为 4×5= 20；长方形内有四个三角形：一个是需求面积的三角形①，其它三个三角形②、③、④均有一边是水平放置的，故由求解问题14.1给出的方法易求得它们的面积分别为4、3、5.故 三角形①的面积=20-（4+3+5）=8.

做到这里，再回头来看一下解决上面两个问题的思路：

先把求平置的长方形的面积视为基本的.对求至少有一边平置的简单图形（如三角形、平行四边形、梯形等）的面积，我们是通过“割、补”或“扩展”的手段转化成长方形去求解的.另外，对求斜置的简单图形的面积又是用同样的手段转化成长方形或有一边平置的图形去求解的.

把待做的事情通过一定的手段转化成已经会做的（或易做的）事情去解决的思想方法叫化归.

利用化归的思想我们还可以解决更为复杂的问题.

问题14.3 图14－4是画在木板上的方格网，在网的接点上都钉上小铁钉，然后用三根橡皮筋拉成如图的三个图形，试分别求出它们的面积.

分析 图14－4的方格网中的三个图形，一个像一顶帽子.一个像一个小人骑着马.一个像一只鹅.每个图形都有些复杂，使我们不好下手.

但只要想到化归的思想，问题就迎刃而解了.事实上，我们已经会求任意放置的长方形、三角形、平行四边形、梯形的面积.通过观察可以发现帽、马、鹅都不外乎是由这几种图形组合而成的，因此可用虚线把它们分割成这几种图形.比如，帽可分划成一个梯形、一个长方形和一个平行四边形，它们的面积分别为3、4、2，故帽的面积为3+4+2=9；同样，马和鹅的面积分别为7和8.

因为事物在一定条件下才能相互转化，为了实现这种转化，我们还要创造条件；这是关键.在分析本问题的过程中，我们用了“分割”的手段创造条件，其实也可用“补”、“扩展”等手段创造条件，实现转化.

由上分析可知，用“割补”或“扩展”虽可求格点网中格点多边形的面积，但当多边形较复杂时，求起来较琐碎、复杂而不易进行.我们知道，格点个数比较易求，那么格点多边形所含的格点数与其面积有没有内在的联系呢？（如果找到了这种联系，就可以通过计算格点数去求它的面积了.）

统计一下上面做过的几道题目，我们总是用n、m和S分别表示格点多边形内部、边上的格点数和面积.见下表.

对！

毕克定理 若一个格点多边形内部有n个格点，它的边界上有m个格点，

利用毕克定理再求格点多边形的面积就容易多了. 问题14.4 求图14－5中四边形的面积.

分析我们完全可以利用化归的思想通过扩展或割、补的手段转化成至少有一边与网线平行的简单图形去解.图14－6给出了两种方法.

现在有了毕克定理，完全可以避开那些技巧性的手续.

解法3 由图14－5可见n=12，m=4，故

问题14.5 图14－7中有三个正方形，分别计算正方形①、②、③的面积，并观察这三个正方

形的面积之间有什么关系？

解 显然正方形①、②的面积都是4.

求正方形③的面积有多种方法.如用扩展成平置的正方形，或沿AD切割成两个有一边平置的三角形，或用毕克定理都可求得面积为8. 易见：

正方形①的面积+正方形②的面积=正方形③的面积。即 AB2+BC2=AC2.

我们换一个角度来看看这个结论：△ABC是一个直角三角形，对这个直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方.还可以把这个结论推广：“任何一个直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.”这就是著名的勾股定理.同学们，等你们学到了更多的知识的时候，你还可以用多种方法证明这一定理呢！

问题14.6 图14－8是某海岸一个灯塔的平面图.已知它的面积为23个单位，求塔图内部的格点数.

分析 我们完全可以画出内部的格点，再数一数知它们有多少个点，这是直接法.但有了毕克定理后还可间接地去求. 解 在毕克定理

中，现已知S=23，数一数 边界上的格点可知m= 30，故

易求得n=9.

即塔图14－8内部有9个格点.