初中数学《特殊的平行四边形》超级名师原创导学案（各版本通用-学生、家长、教师必备）

正奇数学教育工种室 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 正奇 — 以正立，以奇胜。

3．矩形（平行四边形）一边上任意一点到对边两个端点的连线与对边组成的三角形的面积等于矩形面积的一半。 〖母题示例〗

1．矩形ABCD的周长为20厘米，O点是BC的中点，F点正好与BC边上的M点重合，试判断四边形BMDF是什么形状，并说明理由。

EAFD∠AOD=90°求AB的长。

ADBOC 2．矩形ABCD中，对角线AC、 BD相交于点O， ∠AOD=120°，AB=4，求BD和BC的长。

ADOBC 3．矩形ABCD的面积是16，EF过矩形的对角线的交点O，且分别交AB，CD于E、F点， 则阴影部分的面积是（ ）。

ADEOFBC 4．把一张矩形的纸ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD交于点F,

① 求证：△ABF≌△EDF

② 如果将折叠后的图形恢复原状，

BMC 【知识点三】直角三角形斜边上的中线的性质定理和逆定理。

1．性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（三线相等，两个等腰三角形）。

2．性质定理的逆定理：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形。（这边所对的角是直角）。

★正奇点睛：

1．归纳、比较、识记：直角三角形中与一半有关的定理：30度角所对边；斜边上的中线。

2．与三角形、梯形中位线定理配合使用。 3．证明线段相等、倍分，角相等，垂直（直

角三角形）的重要依据。

4．与此相关的辅助线：直角顶点与斜中相连。 5．阶段小结：

30度角→直角边两边垂直斜中＝斜的一半线段两角互余倍分三角形中位线证明RT△勾逆证之梯形中位线斜中之逆〖母题示例〗

1．证明；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一

5

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半。（延长斜边上的中线）

2．梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，E是DC的中点，求证：∠AEB＝2∠CBE

ADEBC 【知识点四】矩形的判定。

1．看边：两边垂直的平行四边形是矩形。 2．看角：

⑴有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）

⑵有三个角是直角的四边形是矩形。 3．看对角线：对角线相等的平行四边形是矩形。 ★正奇点睛：

1．判定方法的图示：

平行有一个角是直角四边形对角线的长相等矩形四边形的三个角是直角性质 2．训练学生书写规范的符号和图形语言。 3．与菱形对照记忆：矩形在角上进行了美容。所以优势在角上。而菱形的优势在边上。对比记忆是学好本章的又一诀窍。 〖母题示例〗

1．填一填,辨一辨,记一记:

⑴对角线( )的平行四边形是矩形. ⑵对角线( )的四边形是矩形.

⑶对角线( )的平行四边形是菱形. ⑷对角线( )的四边形是菱形. 2．平行四边形ABCD中,M为BC的中点, ∠MAD＝∠MDA，求证：四边形ABCD是矩形。

ADBMC 3．已知平行四边形ABCD对角线AC,BD相交于O点,△COD是等边三角形, 求证:四边形ABCD是矩形.

ADOBC 4．△ABC中,AB=AC,点F在CA的延长线上,AD,AE分别是∠BAC和∠BAF的平分线,BE⊥AE于E

求证: ⑴DA⊥AE ⑵AB=DE

BDECFA 5．已知：如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H． 求证：四边形EFGH是矩形．

ADG

FHEBC6

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6．如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）13.平行四边形ABCD，E是CD的中点，△ABE是的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

A FN MEOB

CD7．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A、平行四边形 B、等边三角形 C、矩形 D、直角三角形 8．下列叙述错误的是（ ） A.平行四边形的对角线互相平分 B.平行四边形的四个内角相等。 C.矩形的对角线相等。 D.有一个角时90o的平行四边形是矩形

9．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 .

10．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）

A、对角线相等 B、对角线互相垂直 C、对角线互相平分 D、对角相等 11．矩形ABCD的对角线相交于点O，如果?ABC的

周长比?AOB的周长大10cm，则AD的长是（ ）

A、5cm B、7.5cm C、10cm D、12.5cm

12．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，

?AOD?120?，AB=4cm，求此矩形的面积。

A D O

B C 等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形

14．如图，矩形ABCD中，

EF?EB,EF?EB,ABCD周长为22cm，

CE=3cm，求：DE的长。

D E C F

A B 15． 如图，矩形ABCD中，DE=AB，CF?DE，求证：EF=EB。 D C F A E B

16．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BF//DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE:EB=5:2，求阴影部分。

A D D、对角相等F

E B C 17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、AEC、10cm ?BD，垂足为E，D已知、12.5cm

BD相交于O，

AB=3，AD=4，求?AEO的面积。

A D

E O B C 7

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18．矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点FH?AE于H，FG?CD于G，求证：

〖母题示例〗在教师指导下画出四边形之间变化的FH?FG?AD

E D G C H F

A B 19.在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求证：四边形AFCE是矩形

20.平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形

第四讲：正方形的性质和判定

【知识点一】正方形的定义。

1．“三出发”：从平行四边形、菱形、矩形出发（整容）都可以得到矩形的“定义”。

2．教材定义：一组邻边相等, 且有一个角是直角的平行四边形是正方形（正四边形）。

3．定义的双重身份：既是性质，又是判定。 4．图形及符号语言：训练学生规范书写。

“整容”图。

【知识点二】正方形的性质（矩形、菱形取长补短

的结晶）：

1．看边角：四边相等。四个角都是直角。 2．看对角线：对角线互相垂直平分且相等。分四个内角为八个45°角；分正方形为四个等腰直角三角形。对角线长是边长的2倍。 3．看对称：双对称：中心，轴（四条对称轴）。 ★正奇点睛：做到三种语言三合一：对照图形，找到依据，理解记忆。

ACBD 〖母题示例〗

1．已知如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DE＝BF．求证：∠AFE＝∠AEF． F

B A C

D E

2．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF．

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3．正方形ABCD中,E为AB的中点,连接CE,延长CB到点F,使2BF=BC,连接AF,求证:AF=CE

ADEFBC

4．正方形ABCD中,AC为对角线,E为AC上一点,连接ED,EB.

⑴求证:△BEC≌△DEC

⑵延长BE交AD于点F,当∠BED=120°时,求∠EFD度

AFDEBC

5．E,F分别在正方形ABCD的边BC, CD上,AE,BF相交于点G,BE=CF

求证:①AE=BF ②AE⊥BF

ADGFBEC 6．如图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是

等边三角形，求∠EAD与∠ECD

7．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上

一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF．

8．已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交

OA于F．求证：OE=OF．

【知识点三】正方形的判定。

1．“三出发”判定：

⑴一组邻边相等, 且有一个角是直角的平行四边形是正方形（正四边形）。

⑵有一个角是直角的菱形是正方形。 ⑶有一个组邻边相等的矩形是正方形。 2．对角线：对角线互相垂直平分且相等的四边形是四正方形。 ★正奇点睛：

1．彻底搞清四种平行四边形之间的关系。通

过“整容”逐步变“美”。

2．搞清楚对角线变化引起图形变化的规律。

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