初中数学《特殊的平行四边形》超级名师原创导学案（各版本通用-学生、家长、教师必备）

正奇数学教育工种室 —《正奇数学立体通关学案》让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。 正奇 — 以正立，以奇胜。

第十六章 四边形

■ 通关口诀：

定义性质和判定；学习几何三要素。 四边形间找关系；整容观念看变异。 性质判定要理清；记住五看就成功。 几何精髓是特殊；特殊模型要清楚。 三种语言文符图；学好几何是基础。

■ 正奇数学学堂

第一讲：菱形的性质与判定

【知识点一】菱形的定义。

1．关系：平行四边形????边上整容?菱形。 2．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

3．“关系式”：平行四边形 + 一组邻边相等=菱形。

4．定义的双重身份：既是性质，又是判定。 5．图形及符号语言：

ABDC

四边形ABCD是平行四边形?有一组邻边相等，如AB=AD??? 四边形ABCD是菱形〖母题示例〗说说平行四边形与菱形的区别与联系。

【知识点二】菱形的性质。

1． 看边：四条边都相等。看角：对角相等。

2． 看对角线：互相垂直平分，且平分内对（是 对称轴）。十二角分三组，每四个角一组且相等。

3． 看对称：两对角线是对称轴。轴对称和中

心对称（双对称）。

4． 看面积：菱形的面积等于对角线乘积的一

半（也可用平行四边形面积公式计算）， 5． 特例：有一角为120或60，则内含两个等 边三角形。

★正奇点睛：利用性质：边长、长对角线、短对角线三个要素知二求一！注意用图形语言与符号语言叙述上述性质。

〖母题示例〗

1、已知菱形两条对角线长分别为12cm、8cm，则菱形的面积是 ,周长是

2、已知菱形两邻角之比是5：1，若菱形的高是2cm，则菱形的周长是

3、已知菱形ABCD中，若∠ABC＝120°，则BD：AC＝

4、菱形两邻角之比为1：2，菱形周长为40cm,则较短对角线长为

5、如图，四边形ABCD是菱形。点O是两条对角线

的交点，AB=5cm，AO=3cm，

A D O

B C （1）求AC与BD的长。

（2）在（1）的情况下，则菱形的面积是多少 6、如图, 已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：∠ABC＝1：2，求∠ABD的度数与BD长。

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7、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的边长为多少？

8、菱形ABCD的周长为16厘米，∠ABC＝120°，

C．40cm2 D．80cm2

D

A

B

C

求对角线BD与AC的长。

9、如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm，

求：(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积

10、已知菱形周长为80，一对角线长20，则相邻两角的度数为 ， 。

2、如图，四边形ABCD是菱形。对角线AC=6cm，DB=8cm，AH⊥BC于点H,求AH的长. A D

O B H

C

11、将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）

A．10cm2

B．20cm2

4．求证：菱形的对角线的交点到各边的距离相等。 【知识点三】菱形的判定。

1．看边：

⑴有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）

⑵四条边都相等的四边形是菱形。 2．看对角线：

⑴对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 ⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

⑶对角线互相平分且垂直的平行四边形是菱形。

注：其中⑵⑶为“补充判定”。

★正奇点睛：锻炼用图形语言和符号语言叙述并理

解记忆上述结论。菱形的常用判定方式图示——

平行有一组邻边相等四边形对角线互相垂直菱形四边形的四边长都相等性质 〖母题示例〗

1．证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 已知： 求证：

2

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证明：

2．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点， 求证：AE=AF.

3．下列命题中是真命题的是（ ） A.对角线互相平分的四边形是菱形 B.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 4.小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件 ，使得四边形ABCD是菱形。小明补充的条件是AB=BC；小亮补充的条件是AC=BD，你认为下列说法正确的是（ ）A.小明、小亮都正确 B.小明正确，小亮错误

C.小明错误，小亮正确 D.小明、小亮都错误

5.在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交AC于F，交AB于E，则∠CDF=（ ） A.80° B.70° C.65° D.60°

6.棱形的周长为8.4cm，相邻两角之比为5：1，那么菱形一组对边之间的距离为（ ）

A.1.05cm B.0.525cm C.4.2cm

D.2.1cm

7.菱形ABCD中∠A=120°，周长为14.4，则较短对角线的长度为 。

8.菱形的面积为50平方厘米，一个角为30°，则它的周长为 。

9. 菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m2

）．

10. 如图如图所示，在菱形ABCD中，若AB＝6，∠DAC＝60°则：

①BD＝ ． ②AC＝ ．

③S菱形ABCD＝ ．

归纳：有一个内角为60°的菱形，短的对角线等于 ；长的对角线等于 ．

11. 菱形的两邻角之比为1:2，边长为2，则菱形的面积为__________．

12. 已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 13．菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且

DE⊥AB，则S菱形ABCD= cm2．

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14．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2㎝，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，第二讲：矩形的性质和判定

【知识点一】矩形的定义。

则△AEF的周长为 cm．

第3题图 第4题图 15．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AB，DF∥AC． 试判断四边形AFED的形状，并加以证明．

16．AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形。AD和EF垂直吗？请说明。

17．已知：□ABCD的对角线AC的垂直平分线与AD、BC分别交于点E、F，求证；四边形AFCE是菱形。

AEFBDCAEDBFC

1．关系：平行四边形????边角上整容?矩形。 2．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

3．“关系式”：平行四边形 + 一个角是直角=

矩形。

4．定义的双重身份：既是性质，又是判定。 5．图形及符号语言：训练学生规范书写。

ADBC 四边形ABCD是平行四边形?有一个角是直角，如?A=900??? 四边形ABCD是矩形〖母题示例〗说说四边形、梯形、平行四边形、矩形之间的“整容”关系。 【知识点二】矩形的性质。

1． 看边：对边平行且相等，邻边垂直。

2． 看角：四个角都是直角。 3． 看对角线：互相平分且相等。

4． 看对称：轴对称和中心对称（双对称）。 5． 看面积：矩形的面积等于长乘宽。

6． 特例：两对角线夹角为60或120时，出现

等边三角形和3、6、9三角形。充分利用。

★正奇点睛：

1．矩形一边上任意一点到两条对角线距离的和等于两边的乘积除以对角线的长。

2．矩形长边、短边，对角线三元素知二求一。

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