人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率导学案

3.1.1直线的倾斜角与斜率

【学习目标】

1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件。 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3．能用公式和概念解决问题.

【重点】直线的倾斜角和斜率的应用，两条直线平行和垂直的条件。

【难点】斜率概念理解与斜率公式的灵活运用，启发学生, 把研究两条直线的平行或垂

直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

一、自主学习

新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角?叫做 .

关键：① ；② ；③ . 注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 .

试试：请描出下列各直线的倾斜角.

反思：直线倾斜角的范围？

2的 叫做这条直线的斜率.记为k= . 新知2：一条直线的倾斜角

试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为

ooo⑴当??0时，则k ；⑵当0???90时，则k ； o0o⑶当??90时，则k ；⑷当90???180时，则k . 1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1?x2)的直线的斜率公式：k= . 新知3：已知直线上两点P??(??)

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练习：

1．已知直线的倾斜角?(??90?)，则直线的斜率为 ；已知直线上两 点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1?x2，则直线的斜率为 . 2. 若直线l过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l的斜率为 ,倾斜角为 . 3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值分别为 .

4．已知l1,l2的斜率都不存在且l1,l2不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点A(m,2)B,?(m,?m2，1且直线的倾斜角为60?，则

m? .

问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 .

(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .

问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线l1和l2的斜率为k1和k2.

王新敞

两条直线平行的情形．如果l1//l2，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？ yl1

l2?2?1 Ox

新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率 ；反之，如

果它们的斜率相等，则它们 ，即l1//l2?

注意，上面的等价是在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

两条直线垂直的情形.如果l1?l2，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立

yyy吗？

l1l2 l2l1l2l1 ?1?1?2?1?2?2xx x乙甲丙

新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率 ；反之，如果它

们的斜率 ，则它们互相垂直. 即l1?l2? 王新敞OOO王新敞

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二、典型例题

例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的

倾斜角是钝角还是锐角.

动手试试

练. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

⑴A(2,3),B(?1,4)； ⑵A(5,0),B(4,?2).

例2、已知A(2,3),B(?4,0),P(?3,1),Q(?1,2)，试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你

的结论.

例3．已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断

四边形ABCD的形状,并给出证明.

例4．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.

例5.已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.

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三、总结提升 （一）学习小结

1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是 .

2.直线斜率的求法：⑴ ；⑵ ；

?⑶ 当直线的倾斜角??90时，直线的斜率

王新敞3．直线倾斜角、斜率、斜率公式三者之间的关系： 定 义 取值范围 直线的倾斜角? 直线的斜率k 直线的斜率公式 4．l1//l2?k1?k2或l1,l2的斜率都不存在且不重合.

(二) 课堂检测

1. 下列叙述中不正确的是（ ）.

A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．每一条直线都惟一对应一个倾斜角 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或90 D．若直线的倾斜角为?，则直线的斜率为tan? 2. 经过A(?2,0),B(?5,3)两点的直线的倾斜角（ ）. A．45 B．135 C．90 D．60

??o5．l1?l2?k1k2??1或k1?0且l2的斜率不存在，或k2?0且l1的斜率不存在.

???3. 过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).

A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 4. 下列说法正确的是（ ）. A．若l1?l2，则k1k2??1 B．若直线l1//l2，则两直线的斜率相等

C．若直线l1、l2的斜率均不存在，则l1?l2 D．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行

5. 经过(m,3)与(2,m)的直线l与斜率为?4的直线互助垂直，则m值为（ ）.

771414A．? B． C．? D．

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