2021高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数教学案理北师大版

第4章 三角函数、解三角形

全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式 从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右． 2.考查内容 (1)客观题主要考查三角函数的定义，图像与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识． (2)解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图像与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见． 3.备考策略 (1)熟练应用同角三角函数基本关系式与诱导公式求值、化简． (2)重视对三角函数图像和性质的研究，复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理． (3)对正弦定理、余弦定理的应用要加强训练. 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 [最新考纲] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

??按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(2)分类?

?按终边位置不同分为象限角和轴线角.?

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

(4)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：

角α的弧度数公式 角度与弧度的换算 弧长公式 扇形面积公式 3．任意角的三角函数 (1)定义

设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)． 拓展：任意角的三角函数的定义(推广)．

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r， 则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦． (3)几何表示

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．

如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．

|α|＝(弧长用l表示) π?180?①1°＝ rad；②1 rad＝??° 180?π?弧长l＝|α|r lrS＝lr＝|α|r2 1212yxyrxryx

[常用结论]

(1)单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)．

?π?(2)若α∈?0，?，则sin α＜α＜tan α.

2??

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( ) (3)不相等的角终边一定不相同．( )

(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编

1．若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在( ) A．第一象限 C．第三象限

B．第二象限 D．第四象限

D [∵sin θ＜0，cos θ＞0，∴θ的终边落在第四象限．] 9π

2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )

4A．2kπ＋45°(k∈Z) 9

B．k·360°＋π(k∈Z)

4C．k·360°－315°(k∈Z) 5π

D．kπ＋(k∈Z)

4

9ππ9ππ

C [∵＝2π＋，∴与终边相同．

4444又角度制与弧度制不可同时混用，故选C.]

3．角－225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限． 5π

[答案] － 二

4

4．设角θ的终边经过点P(4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝______. 113 [由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－， 5544?3?11cos θ＝，所以2cos θ－sin θ＝2×－?－?＝.]

55?5?5

5．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度． [答案]

π 3

考点1 象限角及终边相同的角

象限角的两种判断方法

(1)图像法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．

(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

1.设集合M＝?x?x＝·180°＋45°，k∈Z?

2???

???k?x?x＝·180°＋45°，k∈Z?

4???

?

?

k?

，N

，那么

A．M＝N C．N?M

B．M?N D．M∩N＝?

B [由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；

2而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M4?N，故选B.]

2．设θ是第三象限角，且?cos ?＝－cos ，则是( )

2?22?A．第一象限角 C．第三象限角 B [∵θ是第三象限角，

3π

∴π＋2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，

2πθ3π

∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z， 224

B．第二象限角 D．第四象限角

kk?

θ?θθ