2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题21 全等三角形(含解析)(003)

②先同理得：BG＝BD，计算BD的长，从而得BG的长，根据平行线分线段成比例

定理可得BM的长，根据线段的差可得结论． 【解答】解：（1）①DB＝DG，理由是： ∵∠DBE绕点B逆时针旋转90°，如图1，

由旋转可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝45°， ∴∠G＝45°， ∴∠G＝∠CBD＝45°， ∴DB＝DG； 故答案为：DB＝DG； ②BF+BE＝

BD，理由如下：

由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG， ∴△FDG≌△EDB（ASA）， ∴BE＝FG，

∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG， Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°， ∴CD＝CG＝CB， ∵DG＝BD＝

BC，

即BF+BE＝2BC＝

BD；

（2）①如图2，BF+BE＝

BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，

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在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠DBG＝∠G＝30°， ∴DB＝DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA）， ∴BE＝FG，

∴BF+BE＝BF+FG＝BG，

过点D作DM⊥BG于点M，如图2，

∵BD＝DG， ∴BG＝2BM，

在Rt△BMD中，∠DBM＝30°， ∴BD＝2DM．

设DM＝a，则BD＝2a， DM＝a， ∴BG＝2a， ∴＝，

∴BG＝

BD，

∴BF+BE＝BG＝

BD； ②过点A作AN⊥BD于N，如图3，

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Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2， ∴AN＝1，BN＝∴BD＝2BN＝2∵DC∥BE， ∴

＝，

， ，

∵CM+BM＝2， ∴BM＝，

由①同理得：BE+BF＝BG＝∴BG＝

×

＝6，

． BD，

∴GM＝BG﹣BM＝6﹣＝

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，本题证明△FDG≌△BDE是解本题的关键．

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