2020年中考数学第一轮复习暨2019年全国中考试题分类汇编 专题21 全等三角形(含解析)(003)

【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．

2. （2019?贵州省安顺市?12分）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．

解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断． AB，AD，DC之间的等量关系 ；

（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．

【解答】解：（1）AD＝AB+DC 理由如下：∵AE是∠BAD的平分线 ∴∠DAE＝∠BAE ∵AB∥CD ∴∠F＝∠BAE ∴∠DAF＝∠F ∴AD＝DF， ∵点E是BC的中点

∴CE＝BE，且∠F＝∠BAE，∠AEB＝∠CEF ∴△CEF≌△BEA（AAS） ∴AB＝CF

∴AD＝CD+CF＝CD+AB （2）AB＝AF+CF

理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G

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∵E是BC的中点， ∴CE＝BE， ∵AB∥DC，

∴∠BAE＝∠G．且BE＝CE，∠AEB＝∠GEC ∴△AEB≌△GEC（AAS） ∴AB＝GC

∵AE是∠BAF的平分线 ∴∠BAG＝∠FAG， ∵∠BAG∠G， ∴∠FAG＝∠G， ∴FA＝FG， ∵CG＝CF+FG， ∴AB＝AF+CF

3. （2019?广西北部湾经济区）如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）求证：△ABF≌△BCE；

（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC=DG；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求

的值．

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【答案】（1）证明：∵BF⊥CE， ∴∠CGB=90°，

∴∠GCB+∠CBG=90， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE=90°=∠A，BC=AB， ∴∠FBA+∠CBG=90， ∴∠GCB=∠FBA，

∴△ABF≌△BCE（ASA）；

（2）证明：如图2，过点D作DH⊥CE于H， 设AB=CD=BC=2a， ∵点E是AB的中点， ∴EA=EB=AB=a，

∴CE=a，

在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG?CE=CB?EB，∴BG=

a，

∴CG==a，

∵∠DCE+∠BCE=90°，∠CBF+∠BCE=90°， ∴∠DCE=∠CBF，

∵CD=BC，∠CQD=∠CGB=90°， ∴△CQD≌△BGC（AAS）， ∴CQ=BG=

a，

∴GQ=CG-CQ=a=CQ，

∵DQ=DQ，∠CQD=∠GQD=90°， ∴△DGQ≌△CDQ（SAS），

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∴CD=GD；

（3）解：如图3，过点D作DH⊥CE于H， S△CDG=?DQ=CH?DG，

∴CH==a，

在Rt△CHD中，CD=2a， ∴DH=

=a，

∵∠MDH+∠HDC=90°，∠HCD+∠HDC=90°，∴∠MDH=∠HCD， ∴△CHD∽△DHM， ∴

，

∴HM=a，

在Rt△CHG中，CG=a，CH=a，

∴GH==a，

∵∠MGH+∠CGH=90°，∠HCG+∠CGH=90°，∴∠QGH=∠HCG， ∴△QGH∽△GCH， ∴， ∴HN=

=a，

∴MN=HM-HN=a，

∴=

【解析】

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