高中数学2016-2017学年新课标人教A版选修2-3学案 - 1.2第4课时 组合问题完美版

1.2 排列与组合 第四课时 组合问题

一、课前准备 1．课时目标

(1) 会处理一些复杂的组合问题； (2)能解决的排列组合综合应用题 2．基础预探

排列组合问题的常见策略为：（1）特殊元素____安排的策略；（2）合理分类与准确分步的策略；（3）排列、组合混合问题______的策略；（4）正难则反、等价转化的策略；（5）相邻问题______处理的策略；（6）不相邻问题____处理的策略；（7）定序问题等概率除法处理的策略；（8）分排问题直排处理的策略；（9）“小集团”排列问题中先整体后局部的策略。 二、学习引领

1. 处理排列组合问题的基本步骤是什么？

首先判断这个问题是组合问题还是排列问题，即看取出的元素能否交换位置：若能则为组合问题，否则为排列问题；其次要注意两个基本原理的灵活应用，对问题进行合适的分类与分步，转化为多个简单的问题处理，但要注意有无重复或遗漏. 2. 如何解答有限制条件的组合问题？

解决有限制条件的组合问题的基本方法有两种：直接法和排除法。直接法求解时应坚持特殊元素优先选取的原则，再处理其它一般元素；若正面处理问题时需要讨论的情况比较多，计算量较大，不妨从问题的反面入手利用排除法解决。一般含有“至多”、“至少”等组合问题多用此法解决，体现了正难则反的策略。 3.如何处理分组分配问题？

分组分配问题是一类常见的排列组合综合应用题，它的常见形式是这样的：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分组分配问题。一般有定定向分配和不定向分配两种问题。解决这个问题的关键是先对元素进行的恰当的分组，然后再分配。

将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组（如将6个元素，分成3个一组、2个一组一个一组分为3组）、平均分组（如将6个元素，分成每2个一组分为3组）和部分平均分组（如将6个元素，分成4个一组、1个一组、1个一组分为3组）三种情况。其中出现平均分组和部分平均分组问题时要去掉顺序即若平均分为m组则除以Am。

三、典例导析

题型一 排列、组合的简单应用

例1 从a,b,c,d,e这5个元素中取出4个放在4个不同的格子中,要求一个格子放一个元素,且元素b 不能放在第二个格子里,问共有多少种不同的放法?

思路导析：第二个格子是特殊位置，因此应该先安排，然后再处理其它位置；或将b看做特殊元素，先行处理。 解:方法一：先从a,c,d,e中选一个放到第二个格子里,其余的再选3个任意排列,根据乘法原理

13A4?4?4?3?2?96种不同的放法. 有C44?24种放法,若不选b,则b有3种放法,其余再任选3个排列,方法二:分两类:若选b,则有A4m13有C3A4?72种放法,共有24+72=96种.

规律总结：处理排列组合问题要先观察题目的特点，找出特殊的元素或者位置，再利用分类分步计数原理将问题简化为多个小问题来解决。 变式训练：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法?

题型二 非均匀分组问题

例2（1）若从10名工人中选出9人分成3个小组，各组人数分别是2，3，4，则有 种分法. （2）若从10名工人中选出9人分成3个小组，各组人数分别是2，3，4，去参加不同的劳动，则其安排方法有 种.

思路导析：（1）为将9人分三组，且不是均分；（2）为先分组后，再分配问题。 解：（1）第一步，先从10人中选出2人有C10种选法；第二步，再从余下的8人中选出3人，有C8种选法；第三步，从余下的5人中选出4人，有C5种选法；根据分步乘法计

234数原理知不同的选法共有C10C8C5?12600种分法.

234 （2）由于选出的3组人要参加不同的三种劳动，因此在（1）的基础上，还应考虑再分

2343配问题，因此安排方法有C10.C8.C5.A3?75600种安排方法.

规律方法： 本题主要研究不均匀分组和分配问题，只分成几组的问题为分组问题，分组后各组要担任不同的工作的问题为分组分配问题，此时需乘以组数的全排列.

变式训练：某医院有6台不同的仪器，按照以下要求处理，各有几种分法? （1）甲科室分1台，乙科室分2台，丙科室分3台； （2)一科室分1台，一科室分2台，一科室分3台；

题型三 均匀分组问题

例3 将4名司机和8名售票员分配到四辆公共汽车上，每辆车上分别有1名司机和2名售票员，则可能的分配方案是（ ）

2224422242222224 A C8C6C4A4A4 B A8A6A4A4 C C8C6C4A4 D C8C6C4

思路导析：先将四名司机分4组，再分配到4辆车上；再将8名售票员分4组，再分配到4辆车上；也可以利用组合的知识直接分配。

解析：方法一：首先，将四名司机分配到四辆公共汽车上，每车一名，不同的分配方法有

1111C4C3C2C14A4种； 4A422C82C62C4C24其次，将8名售票员分配到4辆车上，每车2名，不同的分配方法有A4种. 4A4由分步计数原理可得：可能的分配方案有C8C6C4A4种. 故选C.

方法二：第一步：给第1辆车分配1名司机和2名售票员，不同的分配法有C4C8种； 第二步：给第2辆车分配1名司机和2名售票员，不同的分配法有C3C6种； 第三步：给第3辆车分配1名司机和2名售票员，不同的分配法有C2C4种； 第四步：将所剩的1名司机和2名售票员分配到第4辆车，只有1 种分配法；

121212由分步计数原理得，可能的分配方案有C4C8C3C6C2C4?1，故选C .

2224121212规律方法：均匀分组分配要注意去掉顺序，如利用C4C3C2C1将4个人分成四组后，这4组就已经排序了，此时只有去掉顺序才是分组.

变式训练：将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ） A 12种 B 18种 C 36种 D 54种 答案:B

题型四 部分均匀分组问题

例4 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）． 思路导析：先将4名大学生分为2、1、1三组，再分配到各个乡镇，其中分成1、1的两组是均匀分组，需去掉顺序。

211C4?C2?C1解析：分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有; 2A21111第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A33，

211C4?C2?C13所以满足条件的分配方案有?A3?36种. 2A2规律方法：部分均匀分组问题，要将其中均匀分组的那部分去掉顺序，然后再分配，否则会出现重复计算.

变式训练：将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）.

四、随堂练习

1. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A 40种 B 60种 C 100种 D 120种

2. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）

A.30种 B.90种 C.180种 D.360种

3.若x∈A则

111∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所x32有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）

A．15 B．16 C．28 D．25

4.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种（用数字作答）.

5. 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种．（用数字作答）

6.为了提高学生参加体育锻炼的热情，华源中学组织篮球比赛共24个班参加，第一轮比赛是先分四组进行单循环赛，然后各组取前两名再进行第二轮单循环比赛(在第一轮中已相遇过的两队不再进行比赛)，问共要进行多少场比赛?

五、课后作业

1．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的有 （ ）