[优秀毕设]常微分方程初值问题的数值解法

毕业设计(论 文)

常微分方程初值问题的数值解法

院 别 专业名称 班级学号 学生姓名 指导教师

数学与统计学院 数学与应用数学

7060101 王某某 王晓敏

2010年06月10日

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 I 页

常微分方程初值问题的数值解

摘 要

流体力学、弹性力学、热传导、电磁波、现代光学等领域研究的自然现象，主要是用微分方程模型来描述．常微分方程模型是在各个领域中经常见到的一类数学模型，求解一阶常微分方程是数学工作者的一项基本的且重要的工作．对于一些简单而典型的微分方程模型，譬如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等是可以设法求出其解析解的，并有理论上的结果可以利用．但在很多情况下碰到的常微分方程求解问题，通常很难，甚至根本无法求出其解析解，而只能求其近似解．因此，研究其数值方法，以便快速求得数值解有其重大意义．

本文对常微分方程初值问题现有的数值解法进行了综述研究，主要讨论了针对数值解法精度而言的一些常用的经典数值解法．对于隐式方法，计算时需要用迭代法，这使计算过程增加了计算量，为此，论文介绍了对各种隐式方法的改进，一般用“预测-校正”法．

关键词： 常微分方程，线性多步法，外推法，欧拉法，龙格-库塔法

论文题目应该简短、明确、有概括性。读者通过题目，能大致了解论文的内容、专业的特点和学科的范畴。题目要符合汉语逻辑，字数要适当（一般不超过24字）。必要时可加副标题。

论文摘要应概括地反映出毕业设计（论文）的目的、内容、方法、成果和结论。摘要中不宜使用公式、图表，不标注引用文献编号。摘要应是一篇完整的短文，篇幅以300～500字为宜。

关键词是供检索用的主题词条，应采用能覆盖论文主要内容的通用技术词条（参照相应的技术术语标准）。关键词一般为3～5个，按词条的外延层次排列（外延大的排在前面）。

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 II 页

Numerical Solution of Ordinary Differential Equation Dealing

with Initial-value Problem

Author: Wang Mou-mou Tutor: Wang Xiao-min

Abstract

Natural phenomena of the fields of fluid mechanics, elasticity mechanics, heat conduction, electromagnetic waves, modern optics and so on, are described mainly by differential equation model. Ordinary differential equation model is often seen in various fields. Solving one-order ordinary differential equation is basic and important work for mathematical workers. For some simple and typical differential equations, such as linear equations, some special one-order nonlinear equations, we can try to derive its analytical solution, and the results are theoretically available. However, in many cases, solving ordinary differential equation is often difficult, even impossible to derive its analytical solution, but we can seek its approximate solution. Therefore, the study of its numerical method to quickly obtain the numerical solution is of significance.

This paper sums up the existing numerical solutions dealing with ordinary differential equation, mainly discusses commonly used numerical solution in term of precision. For the implicit method, iterative calculations are needed, which increases the amount of computation, so this paper describes various improved prediction–correction methods.

Key Words: Ordinary differential equation, Linear multistep method, Extrapolation method,

Euler method, Runge-Kutta method

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 III 页

目 录

1 绪论 ...................................................................................................................................... 1

1.1 课题背景及意义 ......................................................................................................... 1 1.2 课题的发展及应用 ..................................................................................................... 1 1.3 论文构成及研究内容 ................................................................................................. 3 2 问题的描述及简单的数值方法 .......................................................................................... 5

2.1 常微分方程初值问题描述 ......................................................................................... 5 2.2 数值解法的基本思想与途径 ..................................................................................... 5 2.3 单步法的一般概念 ..................................................................................................... 5 2.4 欧拉法和梯形法 ......................................................................................................... 5 2.5 改进的欧拉公式 ......................................................................................................... 8 2.6 龙格－库塔法 ............................................................................................................. 9 2.6.1 二阶 Runge-Kutta法....................................................................................... 10 2.6.2 下面介绍三阶与四阶显式Runge-Kutta方法 ............................................... 11 2.7 变步长自动控制误差法 ........................................................................................... 13 2.7.1 自适应半步长龙格-库塔法 ............................................................................. 14 2.7.2 自适应嵌入式龙格-库塔法 ............................................................................. 15

3 线性多步法解常微分方程初值问题 ................................................................................ 18

3.1 线性多步法的一般公式 ........................................................................................... 18 3.2 阿当姆斯公式和其它多步法公式 ........................................................................... 19 3.3 预测－校正法 ........................................................................................................... 21 结 论 .................................................................................................................................. 24 致 谢 .................................................................................................................................. 25 参考文献 .................................................................................................................................. 26 附 录 A ................................................................................................................................... 27 附 录 B ................................................................................................................................... 34

目录按章、节、条三级标题编写，要求标题层次清晰。目录中的标题要与正文中标题一致。目录中应包括绪论、论文主体、结论、致谢、参考文献、附录等。

东北大学秦皇岛分校毕业设计（论文） 第 1 页

1 绪论

自然界中很多事物的运动规律可用微分方程来刻画．常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法．物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿的运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究．因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域． 1.1 课题背景及意义

一阶常微分方程的求解是数学工作者的一项基本的且重要的工作．我国已故的科学老前辈冯康院士曾指出：“现在科学计算的主题是数学物理中的各种微分方程的数值求

[1]解”．由于国内外众多数学家的努力，使此学科基本上形成了一套完美的学科体系．由

于该问题比较复杂且涉及的面广，对于一些典型的微分方程，如线性方程、某些特殊的一阶非线性方程等，可以运用基本方法求出其解析解，并在理论上可以根据初值问题的条件把其中的任意常数完全确定下来．然而，在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，有时即使能求出形式的解，也往往因计算量太大而不实用，而且高次代数方程求根也并不容易，所以用求解析解的方法来计算微分方程的数值解往往是不适宜的．实际上，对于解微分方程初值问题，一般只要求得到解在若干个点上的近似解或者解的便于计算的近似表达式（只要满足规定的精度就行）． 1.2 课题的发展及应用

常微分方程理论研究已经有300多年的历史了，它是近代数学中的重要分支；同时，由于它与实际问题有着密切的联系，因此它又是近代数学中富有生命力的分支之一．

常微分方程的发展大致可以分为四个重要阶段： 1、以求通解为主要内容的经典阶段

常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，其雏形的出现甚至比微积分的发明