(完整word版)高一数学必修一易错题集锦答案

?1解：∵幂函数y?x3有两个单调区间，

∴根据a?1和3?2a的正、负情况，有以下关系

??a?1?0?a?1?0?3?2a?0.① ?3?2a?0.② ?a?1?0.③????a?1?3?2a??a?1?3?2a?3?2a?0 解三个不等式组：①得23＜a＜32，②无解，③a＜－1 ∴a的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）

点评：幂函数y?x?13有两个单调区间，在本题中相当重要，不少学生可能在解题中误认

为a?1?3?2a，从而导致解题错误. 24 已知a>0 且a≠1 ,f (log a x ) =

aa2?1 (x －1x )

(1)求f(x)；

(2)判断f(x)的奇偶性与单调性；

(3)对于f(x) ,当x ∈(－1 , 1)时 , 有f( 1－m ) +f (1－ m2

) < 0 ,求m的集合M . 分析：先用换元法求出f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后利用以上结论解第三问. 解：(1)令t=logax(t∈R)，则

x?at,f(t)?at?tax?xa2?1(a?a),?f(x)?a2?1(a?a),(x?R). (2)?f(?x)?a?xxaa2?1(a?a)??f(x),且x?R,?f(x)为奇函数.当a?1时,a2?1?0, u(x)?ax?a?x为增函数,当0?a?1时,类似可判断f(x)为增函数.综上,无论a?1或0?a?1,f(x)在R上都是增函数.

(3)?f(1?m)?f(1?m2)?0,f(x)是奇函数且在R上是增函数,?f(1?m)?f(m2?1).又 ?x?(?1,1)??1?1?m???1??1?m2?1?1?1?m?2. ??1?m?m2?1点评：对含字母指数的单调性，要对字母进行讨论.对本例的③不需要代入f（x）的表达式可求出m的取值范围，请同学们细心体会.

25已知函数f(x)?x2?ax?3?a若x?[?2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 解：设f(x)的最小值为g(a)

（1）当?a2??2即a＞4时，g(a)＝f(?2)＝7－3a≥0，得a?73故此时a不存在；

(2) 当?a2?[?2,2]即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，得－6≤a≤2

又－4≤a≤4，故－4≤a≤2； （3）?a2?2即a＜－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，得a≥－7，又a＜－4 故－7≤a＜－4 综上，得－7≤a≤2

26已知mx2?x?1?0有且只有一根在区间（0,1）内，求m的取值范围. 解：设f(x)?mx2?x?1，（1）当m＝0时方程的根为－1，不满足条件. （2）当m≠0∵mx2?x?1?0有且只有一根在区间（0,1）内 又f(0)＝1＞0

∴有两种可能情形①f(1)?0得m＜－2 或者②f(1)?0且0

27.是否存在这样的实数k，使得关于x的方程

x2+（2k－3）x－（3k－1）＝0有两个实数根，且两根都在0与2之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由.

解：令f(x)?x2?(2k?3)x?(3k?1)那么由条件得到

?2???(2k?3)?4(3k?1)?0??4k2?5?0??f(0)?1?3k?0?k?1??f(2)?4?2(2k?3)?(3k?1)?0即??3即此不等式无解 ?k?1??0?2k?3?2??2?3?2?k?72即不存在满足条件的k值.

28已知二次函数f(x)?ax2?bx?c对于x1、x2?R，且x1＜x2时

f(x，求证：方程f(x)＝11)?f(x2)2[f(x1)?f(x2)]有不等实根，且必有一根属于区间

（x1，x2）.

解：设F（x）＝f(x)－12[f(x1)?f(x2)]，

则方程 f(x)＝12[f(x1)?f(x2)] ①

与方程 F（x）＝0 ② 等价 ∵F（x1）＝f(x1)－[f(x1)?f(x2)]＝[f(x1)?f(x2)] F（x2）＝f(x2)－[f(x1)?f(x2)]＝[?f(x1)?f(x2)]

2∴ F（x1）·F（x2）＝－[f(x1)?f(x2)]，又f(x1)?f(x2)

1212121214∴F（x1）·F（x2）＜0

故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.

点评：本题由于方程是f(x)＝12[f(x1)?f(x2)]，其中因为有f(x)表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明f(x)的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证f(x1)f(x2)＜0，使本题没法解决. 本题中将问题转化为F（x）＝f(x)－12[f(x1)?f(x2)]的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在. 29试确定方程2x3?x2?4x?2?0最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数.

分析：只要构造函数f(x)＝2x3?x2?4x?2，计算f(x)的自变量x取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布. 解：令f(x)＝2x3?x2?4x?2

∵f(?3)＝－54－9＋12＋2＝－49＜0 f(?2)＝－16－4＋8＋2＝－10＜0 f(?1)＝－2－1＋4＋2＝3＞0，

，f(0)＝0－0－0＋2＝2＞0 f(1)＝2－1－4＋2＝－1＜0， f(2)＝16－4－8＋2＝6＞0

根据f(?2)·f(?1)＜0，f(0)·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0 可知f(x)的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内.

因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内.

点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n次方程最多有n个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解.

2x3?x2?4x?2

?x2(2x?1)?2(2x?1)?2(x?12)(x2?2)?2(x?1

2)(x?2)(x?2)所以2x3?x2?4x?2＝0有三个根：

12,2,?2 30设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),方程f(x)?x?0的两个根x1,x2，满足0?x1?x2?1a. （1）当x?(0,x1)时，证明x?f(x)?x1；

（2）设函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),的图像关于直线x?x0对称，证明：

xx10?2. 分析：（1）用作差比较法证明不等式x?f(x)?x1；

（2）函数f(x)?ax2?bx?c(a?0),图像关于直线x?x0对称，实际直线x?x0就是二次函数的对称轴，即xb0??2a，然后用已知条件证明不等式即可. 证明：（1）依题意，设F(x)?f(x)?x?a(x?x1)(x?x2) 当x?(0,x1)时，由于x1?x2，∴(x?x1)(x?x2)?0，又a?0 ∴F(x)?f(x)?x?a(x?x1)(x?x2)>0即x?f(x)

x1?f(x)?x1?[x?F(x)]?x1?x?F(x)?(x1?x)(1?ax?ax2)?(x

1?x)(1?ax2)∵0?x?x11?x2?a.∴x1?x?0,1?ax2?0 ∴x1?f(x)?0 综合得x?f(x)?x1 （2）依题意知xb0??2a，又xb?11?x2??a ∴xba(x1?x2)?1ax0??2a?1?ax2?12a?2a