(完整word版)高一数学必修一易错题集锦答案

高一数学必修一易错题集锦答案

1. 已知集合M={y|y =x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（ ）

解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},

注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．

2 .已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C． 解：∵A∪B=A ∴B

A 又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或??1或?2?∴C={0，1，2} 3 。已知m?A,n?B, 且集合A=?x|x?2a,a?Z?，B=?x|x?2a?1,a?Z?，又C=?x|x?4a?1,a?Z?，则有：m+n? (填A,B,C中的一个)

解：∵m?A, ∴设m=2a1,a1?Z, 又∵n?B,∴n=2a2+1,a2? Z , ∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2? Z , ∴m+n?B。

4 已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若B

A，求实数p

的取值范围．

解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5. 由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3

②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2. 由①、②得：p≤3.

点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．

5 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2

}．若A=B，求c的值．

分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．

解：分两种情况进行讨论．

（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2

－2ac=0，

a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0． ∴c2

－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．

（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2

－ac－a=0，

∵a≠0，∴2c2

－c－1=0，

即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－

12． 点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验. 6 设A是实数集，满足若a∈A，则

11?a?

A，a?1且1?A.

⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素⑵A能否为单元素集合？请说明理由.

⑶若a∈A，证明：1－

1a∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.

解：⑴2∈A ? －1∈A ?

12∈A ? 2∈A ∴ A中至少还有两个元素：－1和12

⑵如果A为单元素集合，则a＝11?a即a2?a?1＝0

该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集 ⑶a∈A ?

111?a∈A ? ∈A?

1?a1?a?1?A，即1－11?1a∈A

1?a⑷由⑶知a∈A时，

11?a∈A， 1－1a∈A .现在证明a,1－1a, 11?a三数互不相等.

①若a=11?a,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a≠11?a

②若a=1－11a，即a2

-a+1=0，方程无解∴a≠1－a

③若1－1a =11?a，即a2-a+1=0，方程无解∴1－11a≠1?a.

综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.

点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.

7 设M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝,求（1）从M到N的映射种数；

（2）从M到N的映射满足 f(a)>f(b)≥f(c),试确定这样的映射f的种数. 解：（1）由于M＝｛a，b，c｝，N＝｛－2,0,2｝，结合映射的概念，有

一共有27个映射

?a?0（2）符合条件的映射共有4个,??a?2?a?2?a?2?b??2,??b??2,??b?0,??b?0,

??c??2??c??2??c??2??c?08.已知函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数f(x?1)的定义域

解：由于函数f(x)的定义域为[0，1]，即0?x?1∴f(x?1)满足?0?x?1?1

?1?x?0，∴f(x?1)的定义域是[－1，0]

9根据条件求下列各函数的解析式：

（1）已知f(x)是二次函数，若f(0)?0,f(x?1)?f(x)?x?1，求f(x). （2）已知f(x?1)?x?2x，求f(x)

（3）若f(x)满足f(x)?2f(1x)?ax,求f(x) 解：（1）本题知道函数的类型，可采用待定系数法求解

设f(x)＝ax2?bx?c(a?0)由于f(0)?0得f(x)?ax2?bx，

又由f(x?1)?f(x)?x?1，∴a(x?1)2?b(x?1)?ax2?bx?x?1 即 ax2?(2a?b)x?a?b?ax2?(b?1)x?1

?2a?b?b?1???a?0?a?b?11??a?b?12 因此：f(x)＝212x?2x (2)本题属于复合函数解析式问题，可采用换元法求解

设u?x?1(x?0),?x?u?1(u?1)?f(u)?(u?1)2?2(u?1)?u2?1(u?1)∴f(x)＝x2?1 （x?1）

（3）由于f(x)为抽象函数，可以用消参法求解

用

1x代x可得：f(1x)?2f(x)?a1x,与 f(x)?2f(1x)?ax 联列可消去f(1x)得：f(x)＝2aax3x?3.

点评：求函数解析式（1）若已知函数f(x)的类型，常采用待定系数法；（2）若已知f[g(x)]表达式，常采用换元法或采用凑合法；（3）若为抽象函数，常采用代换后消参法. 10 已知3x2?2y2?6x，试求x2?y2的最大值.

分析：要求x2?y2的最大值，由已知条件很快将x2?y2变为一元二次函数

f(x)??1(x?3)2?9,然后求极值点的x值，联系到y222?0，这一条件，既快又准地求

出最大值.

3x?2y?6xy2??x2?3x解 由 322得2.

?y2?0,??32x2?3x?0,?0?x?2.又x2?y2?x2?3x2?3x??12(x?3)292?2, ?当x?2时，x2?y2有最大值，最大值为?12(2?3)2?92?4.

点评：上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的深刻性.大部分学生的作法如下：

由 3x2?2y2?6x得 y2??32x2?3x,

?x2?y2?x2??3219x?3x??(x?3)2?, 222922当x?3时，x?y取最大值，最大值为

22这种解法由于忽略了y?0这一条件，致使计算结果出现错误.因此，要注意审题，不仅能从表面形式上发现特点，而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件，既要注意主要的已知条件，又要注意次要条件，甚至有些问题的观察要从相应的图像着手，这样才能正确地解题.. 11设f(x)是R上的函数，且满足f(0)?1,并且对任意的实数x,y都有

f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)，求f(x)的表达式.

解法一：由f(0)?1,f(x?y)?f(x)?y(2x?y?1)，设x?y， 得f(0)?f(x)?x(2x?x?1)，所以f(x)＝x2?x?1

解法二：令x?0，得f(0?y)?f(0)?y(?y?1)即f(?y)?1?y(?y?1) 又将?y用x代换到上式中得f(x)＝x2?x?1

点评：所给函数中含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再用已知条件，可求出未知的函数.具体取什么特殊值，根据题目特征而定. 12判断函数f(x)?(1?x)1?x1?x的奇偶性. 解：f(x)?(1?x)1?x1?x1?x有意义时必须满足

1?x?0??1?x?1 即函数的定义域是｛x｜?1?x?1｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 13 判断f(x)?log2(x?x2?1)的奇偶性.

正解：方法一：∵f(?x)?log?x?(?x)22(?1)?log2(?x?x2?1)

＝log12＝logx?x2?1?2(x?x2?1)＝－f(x)∴f(x)是奇函数

方法二：∵f(x)?f(?x)?log2(x?x2?1)?log2(?x?x2?1)

＝log2[(x?x2?1)?(?x?x2?1)?log21?0

f(?x)??f(x) ∴f(x)是奇函数