2018-2019学年高一数学下册知识基础梳理测试29

4．1.2 圆的一般方程

基础梳理

1．圆的一般方程的定义．

当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形． 方程 条件 D2＋E2－4F<0 图形 不表示任何图形 表示一个点D2＋E2－4F＝0 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F>0 ?DE??－，－? 2??2?DE??表示以－2，－2?为??1圆心，以2D2＋E2－4F为半径的圆 3.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系．

已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.则其位置

关系如下表：

位置关系 点M在圆外 点M在圆上 点M在圆内 代数关系 22x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0 22x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F＝0 22x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F<0 练习1：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0在什么条件下表示圆的方程？

答案：A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0

练习2：圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0的圆心为(1，－5)，半径为52．

?思考应用

1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？

解析：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0中的系数A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．

2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？

解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．

自测自评

1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为(C) A．(4，－6)，r＝16 B．(2，－3)，r＝4 C．(－2，3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16

解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 1

半径r＝

2

42＋（－6）2＋12＝4.

2．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有(A)

A．D＝E B．D＝F C．F＝E D．D＝E＝F

?DE?ED??－，－解析：由题知圆心22?在直线y＝x上，即－2＝－2，∴?

D＝E.

3．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(B)

A．R B．(－∞，1)

C．(－∞，1] D．[1，＋∞)

解析：由D2＋E2－4F＝(－4)2＋22－4×5k＝20－20k>0得k<1. 4．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为x2＋y2

＋6x－8y－48＝0．

解析：圆的半径r＝

（－3－5）2＋（4－1）2＝73，

∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝73， 展开整理得，

x2＋y2＋6x－8y－48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x2＋y2－x＝0； (2)x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)； (3)x2＋y2＋2ay－1＝0.

?1?221?1?1

解析：(1)?x－2?＋y＝，圆心?2，0?，半径r＝；

42????

(2)(x＋a)2＋y2＝a2，圆心(－a，0)，半径r＝|a|； (3)x2＋(y＋a)2＝1＋a2，圆心(0，－a)，半径r＝基础达标

1．方程x2＋y2＋4x－2y＋5＝0表示的曲线是(C) A．两直线 B．圆 C．一点

D．不表示任何曲线

2．x2＋y2－4y－1＝0的圆心和半径分别为(C)

1＋a2.