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B部分 代蒙德模型
一、假设：
1、家庭与个人：世代交叠模型与拉姆齐模型的差异存在人口的新老交替，而非一个数量固定有永久生存的家庭，新的个人出生，老的个人不断死亡。即新老代谢，时间是间断的而非连续的，假设每个人只活两个时期。Lt代表出生于t时期的个人，人口以速率n增长，因此，Lt?(1?n)Lt?1，由于个人均生活两个时期，在t时期，存在Lt个正处在他们生命的第一个时期的个人，那么，处于第二个时期的个人为Lt?1?Lt/(1?n)。每个个人在其年轻的时候1单位的劳动，并且将所得到的劳动收入在第一期的消费与储蓄之间进行分配，在第二时期，个人只简单地消费其获得的储蓄与利息。
设C1t与C2t代表年轻与年老的个人在t时期的消费，因此，在t时期出生的一个个人的效用依存于C1t与C2t?1。我们仍使用CRRA效用函数，其一生的效用为：
1??1??C11C2t?1t，其中，??0，???1 Ut??1??1??1??由于生命是有限的，我们不必再假设??n?(1??)g?0以确保终生效用不再发散。如果??0，则个人给第一个时期的权数大于第二个消费时期；如果??0，则个人给第一个时期的权数小于第二个消费时期。这里假设???1，则确保第二个消费时期的权数为正。
2、厂商：与前面的假设一样：（1）即生产函数为Yt?F(Kt,AtLt)，它满足规模报酬不变与稻田条件，且A以外生速率g增长（At?(1?g)At?1）；2）市场是竞争性的，劳动与资本可获得其边际产出，厂商为零利润。不存在折旧。真实利润与每单位有效劳动的工资与前面一样，即rt?f'(kt)，wt?f(kt)?ktf'(kt)。（3）存在一些初始的资本K0，它由一切老年人均等地持有。因此，在0时期内，由老人拥有的资本与由年轻人供给的劳动结合起来生产产出，老年人消费其资本收入与现存财富，后死亡并在模型中消失，年轻人则把他们的劳动收入Atwt分配在消费与储蓄上。并把储蓄带入下一期，因此，在t?1时期内资本存量Kt?1等于t时期年轻人的数量Lt乘以这些个人的储蓄（Atwt?C1t）。这种资本与下一代的年轻
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个人供给的劳动相结合，将这个过程持续。
二、家庭行为
在t时刻出生的一个个人的第二期消费是：
C2t?1?(1?rt?1)(Atwt?C1t)
C1t?C2t?1?Atwt――――预算约束 1?rt?1其表明，终生消费的现值等于其初始财富（0）加上终生劳动收入的现值Atwt（第一期的）
1??1??C11C2t?1t MaxUt??1??1??1??S.T.C1t?C2t?1?Atwt 1?rt?1利用欧拉方程，可得：当个人将消费C1t减少了较小的量?C，后将利用新增的储蓄与资本收入把C2t?1提高了(1?rt?1)?C。这种改变并不影响个人终生消费流
???t?1时的现值。由于t时期的边际效用为C1?t ，其边际效用成本为C1t?C ，而
????期的边际效用为C2t?1/(1??)，那么，边际效用收益为C2t?1/(1??)(1?rt?1)?C，边
际效用成本与边际效用收益相等：
???C1?t?C?C2t?1/(1??)(1?rt?1)?C ?两边消去?C并同乘以C2t?1，得出： ?C21?rt?1C2t?11?rt?11/?t?1??() ??C11??C1??t1t这个表达式类似于拉姆齐模型中的欧拉方程，意味着个人消费是否随着时间正在递增或递减——这则依存于是否实际报酬大于或小于贴现率。
如何刻画C1t？，我们或将上式两边同乘以C1t，并代入预算约束得：
(1?rt?1)1??/??C1t?C1t?Atwt
(1??)1/?(1??)1/??C1t?Atwt 1/?1??/?(1??)?(1?rt?1)
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上式表明单个消费者在第一期的消费份额，那么，储蓄s(r)为：
(1?rt?1)1??/? ?s(r)?1/?1??/?(1??)?(1?rt?1)上式意味着，当且仅当(1?rt?1)1??/?关于r是递增的，那么，年轻人的储蓄关于r是递增的，。由于(1?rt?1)1??/?关于r的导数为[(1??)/?](1?r)(1?2?)/?。因此，当??1，储蓄关于r是递增的，当??1，储蓄关于r是递减的。也就是说，r的上升具有收入与替代双重效应，当两时期消费之间的替代对第二期有利，这将趋向增加储蓄（替代效应）。但既定的储蓄量将会带来第二时期的更大消费，这将导致减少储蓄（收入效应）。即当个人乐于在两个时期进行消费替代以利用报酬率激励（?很小，消费跨期替代弹性变大），替代效应占优；当个人对两期内相
??1，似消费水平有强的偏好（?很大，消费跨期替代弹性变小），收入效应占优。两个效应平衡，储蓄率与利率不相关。（?C1t?[1?s(rt?1)]Atwt）
三、经济的动态学
1、k的运动方程
由于年轻人把他们的劳动收入Atwt分配在消费与储蓄上。并把储蓄带入下一期，因此，在t?1时期内资本存量Kt?1等于t时期年轻人的数量Lt乘以这些个人的储蓄（Atwt?C1t）。这种资本与下一代的年轻个人供给的劳动相结合，将这个过程持续。
Kt?1?s(rt?1)LtAtwt――――即在t时期的储蓄依存于该时期的劳动收入与对下个时期资本报酬的预期。对此式两边同除以Lt?1At?1，取得单位有效劳动的资本：
kt?1?1s(rt?1)wt
(1?n)(1?g)1s(f'(kt?1))[f(kt)?ktf'(kt)]
(1?n)(1?g)?kt?1?2、k的演化
上式隐含着把kt?1定义为kt的函数，给定k初始值，该式决定k如何随着时间而演化。如果kt是一个均衡值，那么，满足kt?1?kt的k一旦达到该值，便保持不变。是否存在k的一个均衡值，或者会收敛于这样的一个值？对于一般情形，较难作进一步讨论，这里先对一种特殊情形：对数效用与柯布－道格拉斯生产函
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数的情形进行分析，然后再放松假设，看什么情况发生。
3、对数效用与柯布－道格拉斯生产函数
对数效用意味：??1，收入中用于储蓄的部分为1/(2??)。柯布－道格拉斯生产函数为f(k)?k?，w?(1??)k?，那么：
kt?1?11(1??)kt?
(1?n)(1?g)(2??)上式把kt?1表示为k的函数。如图所示：kt?1函数与450线相交一点，正是kt?1等于kt的点。当kt?0处，kt?1?kt。当kt较小时，kt?1上升并且大于kt，然后，它同450线相交一点并处在低于kt的状态。因此，除kt?0外，只存在一个惟一的k的均衡水平，由k*表示。它是全局性稳定的：每当k开始时，它收敛于k*。假设k的初始值k0大于k*。由于当kt大于k*时，k1小于k0，因此，kt?1小于kt的。由于k0大于k*，并且kt?1关于kt是递增的，k1大于k*。因此，k1处在k*与k0之间；
k处在趋向k*的移动途中，这个过程在每个时期重复，所以k平滑收敛于k*。类
似分析可应用于k0小于k*时。
kt kt?1k1k2kt?1k*
k2k1k0
k的动态学
一旦经济收敛于其平衡路径，其性质与索洛、拉姆齐经济关于其平衡增长路径的性质相同：储蓄率不变，每工人产出以g的速率增长，资本－产出比率不变。
经济如何对冲击作出反应？当经济初始处于其平衡增长路径时，贴现率下降
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