数学高考基础知识及常见结论详解（一）

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用

来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出

的形

的取值范围；常

用来解，型如：

；

③换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑤基本不等式法：转化成型如：

，利用平均值不等式公式来求值域；

⑥单调性法(导数法）：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

求下列函数的值域：

① （2种方法）；

② （2种方法）；

③ （2种方法）；

（①

；② ；③ ）

三、函数的性质：

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有：定义法（作差比较和作商比较） 导数法（适用于多项式函数） 复合函数法和图像法。

应用：比较大小，证明不等式，解不等式。

奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0数；

f(x)+f(-x)=0

f(x) =f(-x) f(x)为偶函

f(x) =－f(-x) f(x)为奇函数。

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判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法 应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期. 应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。

四、图形变换：

函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考） 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

注意：

（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数ｙ＝ｆ(２ｘ)图象 得到函数ｙ＝ｆ(２ｘ＋４)的图象。（向左平移2个单位）

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 =（ｍ，ｎ）平移的意义。

对称变换y=f(x)→y=f(－x),关于ｙ轴对称 y=f(x)→y=－f(x) ,关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=|f（x）|,把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称

y=f(x)→y=f(|x|)把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称。（注意：它是一个偶函数）

伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx),

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称； 如： （1）（2）（3）（4）（5） （6） （7） （8） （9）

的图象如图，作出下列函数图象： ； ； ； ； ；

； ； ； 。

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五、反函数： （1）定义：

（2）函数存在反函数的条件： ；（函数y=f（x）是一一对应）

（3）互为反函数的定义域与值域的关系： ；（定义域值域互换）

（4）求反函数的步骤： ①将 ②将

看成关于 的方程，解出 互换，得

；

的值域）。

，若有两解，要注意解的选择；

③写出反函数的定义域（即

（5）互为反函数的图象间的关系： ；（关于直线y=x对称）

（6）原函数与反函数在对应区间上具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。

如：求下列函数的反函数：

（

（x）=1- （x ）；

；

六、常用的初等函数： （1）一元一次函数：

（2）一元二次函数： 一般式：

）

，当 时，是增函数；当 时，是减函数；

；对称轴方程是 ；顶点为 ；

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（

两点式：

）

；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；

（直线

顶点式：

（直线x=k；（k，h））

①一元二次函数 当

）

；对称轴方程是 ；顶点为 ；

的单调性：

时： 为增函数； 为减函数。

时： 为增函数； 为减函数；当

（

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

有三个类型题型：

）

的形式，

时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

(1)顶点固定，区间也固定。如：

（ ）

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。

(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．

（

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）