人教版高中数学全套教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算

则a·b = 0， b·c = 0， c·a = 0， 且|a| = |b| = |c| ，

11(AB+AD)=e + (a + b), 22BD=AD - AB = b – a , OG = OC+ CG 1111CC1 = (a + b ) - c =(AB+AD) +

222211∴A1O·BD = { c + a + b}·(b –a )

221= c·( b – a ) + ( a + b) ·( b – a )

21= c·b - c ·a + (|b|2 - | a |2

211111A1O·OG = { c + a +b} – { a + b - c}

22222111=( |a|2 +|b|2) - |c|2=0 422A1O?BD??∴A1O?OG?A1O平面BDG BD?OG=O??而 A1O=A1A+AO=A1A+

知识点七 空间向量的坐标运算

已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－

2,2,3)，求满足下列条件的P点的坐

1(AB ?AC); 21(2)AP = (AB ?AC);

2解AB = （2，6，?3），AC=（?4，3，1）。

112（1）OP=(AB ? AC) =(6 , 3 , ?4 )={3,, ?2},

2233则P点的坐标为{3，，?2）.

2(2)设P（x,y,z）则，AP =（ x – 2 , y + 1 , z – 2 ）.

13(AB - AC)= (3,,-2), 221所以x=5, y= , z=0,

21故P点坐标为（5，，0）.

2(1)OP =

知识点八 坐标运算的应用

在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，

1

G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．

4

(1)求证：EF⊥B1C；

(2)求EF与C1G所成的角的余弦值； (3)求FH的长. 解

如图所示，建立空间直角坐标系D—xyz，D为坐标原点，则有

E（0，0，

111）、F（，，0）、C（0，1，0）、C1（0，1，1）、B1（1，1，1）、G（0，2223，0）.. 4（1）EF=（

111111，，0）-（0，0，）={，， ?）， 222222B1C=（0，1，0）-（1，1，1）=（-1，0，-1）.

111∴ EF ·B1C= ×(-1)+ ×0+(-)×(-1)=0,

222EF⊥B1C,即EF⊥B1C.

(2)∵ C1G =（0, ,0）-(0,1,1)=（0,-,-1）.

1711113又EF·C1G=×0+×（-）+（-）×(-1)=, 4224283414∴|C1G|= |EF|= =

51 173,2∴cos〈EEF,C1G〉=

EFC1G

|EF|?|C1G|即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为51.

（3）∵F（，，0）、H（0，，）， ∴

FH =（-

12127812131，，），282

∴|EF|=(?)2?()2?()2=12381214 8 在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点，建

立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题： (1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；

(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离． 解

建立如图所示的空间直角坐标系． （1）由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2）， B1（2，3，2），E（1，3，0）. ∴

AO1=（-2，0，2），

B1E =（?1，0， ?2），

∴

∴AO1与B1E所成角的余弦值为

（2）由题意得O1D⊥AC，AD∥AC， ∵C（0，3，0），设D（x,y,0）, ∴O1D = (x,y, ?2),

cos〈AO1,B1E〉=?210 ??1021010 10AD = (x ?2,y,0),AC = (?2,3,0),

18?x?,??2x?3y?0,???13∴?x?2y 解得?

12?,?y?,?3??2?13?

∴D(

18,13182122228612, ,0 ) ∴|O1D| = |O1D| =()?()?4?13131313

考题赏析

1．(福建高考)

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．

(1)求证：PO⊥平面ABCD；

(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值； (3)求点A到平面PCD的距离．

(1)证明 在△PAD中，PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD. （2）解以O为坐标原点，

OC、OD、OP的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，

建立空间直角坐标系O—xyz. 则A（0， ?1，0），B（1， ?1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）， 所以

CD=（?1，1，0），

PB =（1， ?1， ?1），

cos〈PB

，CD〉=

6?1?1PB??, CD?33?2|PB|?|CD|