人教版高中数学全套教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算

第三章 间向量与立体几何

§3.1 空间向量及其运算

知识点一 空间向量概念的应用

给出下列命题：

①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；

③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=A1C1; ④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；

⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中假命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ①假命题．将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆；

②假命题．根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同； →→→→与A1C1与A1C1的方向相同，模也相等，应有AC＝A1C1；

④真命题．向量的相等满足递推规律；

⑤假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．故选C.

答案 C

知识点二 空间向量的运算

化简：（AB ?CD）? (AC ?BD)

解 方法一 （AB ?CD）?(AC?BD)=AB?CD?AC+BD =AB+DC+CA+BD=（AB+BD）+（DC+CA）=AD+DA=0。 方法二 （AB?CD）?(AC?BD)=AB?CD?AC+BD

=（AB?AC）+（DC?DB）=CB+BC=0。 在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为△BCD的重心，设AB=b AC=c AD=d，

试用

b，c，d表示向量BD，BC、CD，BM，DM和AQ。 解 如图所示

BD=BA+AD=d?b, BC=BA+AC=c?b, CD=CA+AD=d?c,

1DM=(DB+DC)

211=(b ?d+c?d)= (b+c?2d), 222AQ=AD+DQ=d+DM,

311=d+( b+c?2d)=(b+c+d).

33

知识点三 证明共线问题

已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分

别是边CB、CD上的点，且

CF=

22CB,CG=CD.求证：四边形EFGH是梯形. 33证明 ∵E、H分别是AB、AD的中点

11AB,AH=AD, 221111EH=AH-AE=AD ?AB=(AD?AB)=BD

22221122=（CD-CB）={CG-CF} 223333=（CGCF）=FG,∴四边形EFGH是梯形. 44所以 AE=

知识点四 证明共面问题

正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1和A1D1的中点. 证明：向量A1B，B1C，EF是共面向量.

证明 方法一 如图所示.=

EF=EB+BA1 +A1F

11B1B ?A1B+A1D1- 221=（B1C ?A1B）。 2由向量共面的充要条件知，A1B，B1C，EF是共面向量。

方法二 连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG(如图所示)， 则有FG

1DD1，BE 21DD1， 2∴FGBE.

∴四边形BEFG为平行四边形． ∴EF∥BG.∴EF∥平面A1BD.

同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD. ∴A1B，B1C，EF都与平面A1BD平行 ∴A1B，B1C，EF共面. 知识点五 数量积的运算

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分

别是AB，AD的中点，计算

（1）EF·BA;(2) EF·BD;(3) EF·DC. 解 (1）EF·BA==

11BD·|BD|BA=|BD|·|BA|·cos602211,所以EF·BA=, 44111（2）EF·BD=|BD|·|BD|·cos=×1×1×cos0°=,

22211所以 EF·BD=,(3) EF·DC=BD·DC

2211|BD|·|DC|·cos=×1×1×cos120° 22=-1，

41所以 EF·DC=-，

4=

知识点六 数量积的应用

已知点O是正△ABC平面外的一点，若OA＝OB＝OC＝AB＝1，E、F分别

是AB、OC的中点，试求OE与BF所成角的余弦值．

如图所示，设OA=a, OB=b, OC=c, 则a·b=b·c=c·a=

1， 2|a|=|b|=|c|=1，OE=1(a+b),BF= 1c-b,

221(a+b)·{1c-b} 22=1{1a ·c +1 b·c - a·b -|b|2 } 222= 1×{1 + 1 - 1 - 1 } = -1, 24422OE·BF=

2OE= BF=333|OE||BF|?222∴异面直线OE与BF所成角的余弦值为.

3?cos〈OE,BF〉=

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如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角

线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求

证：A1O⊥平面GBD.

证明 如图所示，设A1B1 = a ，A1D1 = b，A1A= c ，