【高考模拟】湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线ST的方程为y?0，也过点??2?,0?； ?3?综上所述，直线ST过定点??2?,0?. 3??1?x?ex??a，∴a?x2?11?x?ex?.令f(x)?，

x2?121.（Ⅰ）∵?1?x?e?axx2则f'(x)??x?x2?2x?3??1?x?222x??x?1??2??ex，

ex???2?1?x2?令f'(x)?0，解得x?0，令f'(x)?0，解得x?0， 则函数f(x)在???,0?上单调递增，在?0,???上单调递减， ∴f(x)max?f(0)?1；

又当x?1时，f(x)?0，当x?1时，f(x)?0， 画出函数f(x)的图象.

要使函数f(x)的图象与y?a有两个不同的交点， 则0?a?1，即实数a的取值范围为?0,1?.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1?x2，不妨设x1?x2，则x1????,0?，x2??0,???. 要证x1?x2?0，只需证x2??x1.

∵x2?x1??0,???，且函数f(x)在?0,???上单调递减，

∴只需证f?x2??f??x1?，又f?x2??f?x1?，∴只需证f?x1??f??x1?，

即证

1?x1x11?x1?x1x?x，即证1?xe?1?xe?0对x????,0?恒成立. e?e????221?x11?x1x?x?xx令g(x)??1?x?e??1?x?e，x????,0?，则g'?x??xe?e，

??∵x????,0?，∴e?x?ex?0，∴g'?x??0恒成立， 则函数g(x)在???,0?上单调递减，∴g(x)?g(0)?0. 综上所述，x1?x2?0.

?x'?2xx2?y2?1，22.（Ⅰ）曲线C1：x?y?1经过伸缩变换?，可得曲线C2的方程为 4y'?y?22∴其参数方程为??x?2cos?（?为参数）；

?y?sin?2曲线C3的极坐标方程为???2sin?，即???2?sin?，

2∴曲线C3的直角坐标方程为x2?y2??2y，即x??y?1??1，

2∴其参数方程为??x?cos?（?为参数）.

?y??1?sin?（Ⅱ）设P?2cos?,sin??，则P到曲线C3的圆心?0,?1?的距离

d?4cos???sin??1?221?16???3sin??2sin??5??3?sin????，

3?3?22∵sin????1,1?，∴当sin??143时，dmax?. 33∴PQmax?dmax?r?4343?3. ?1?3323.（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于

?x??1??1?x?1?x?1或或， ????2x?2?5?1?x2x?2?5?1?x2x?2?5?x?1???解得x??8或?或x?2，

综上所述，不等式f?x??x?1的解集为???,?8???2,???. （Ⅱ）当m??1时，则g?x??2x?2?5?x?1?3x?1?5，

此时g?x?的图象与x轴围成一个三角形，满足题意：

??3x?m?7,x??1?当m??1时，g?x??2x?2?5?x?m??x?m?3,?1?x?m，

?3x?m?3,x?m?则函数g?x?在???,?1?上单调递减，在??1,???上单调递增. 要使函数g?x?的图象与x轴围成一个三角形，

?3?g??1??m?4?0则?，解得?m?4；

2??g?m??2m?3?0综上所述，实数m的取值范围为?,4????1?.

?3?2??