2021年高考数学大一轮复习 二项式定理 专题测验

二项式定理

1

x－?的展开式的第4项等于5，则x等于( ) 1．已知??x?1

A. 7C．7

3

解析：由答案：B

2．(2020·合肥八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )

A．29 C．211

B．210 D．212

－

7

1

B．－

7D．－7

4

T4＝C37x

?－1?＝5，得x＝－1. ?x?7

n16

解析：由题意得C4＝29. n＝Cn，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2

答案：A

3．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A．10 C．30

B．20 D．60

2325252解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x＋x)y中含xy，易知xy的系1

数为C25C3＝30.

答案：C

1

4．(2020·佛山质检)若?ax－?的展开式的常数项是60，则a的值为( )

x??A．4 C．2

6

B．±4 D．±2

r

6

13?－1?＝(－1)ra6－r·6－r·解析：?ax－?的展开式的通项为Tr＋1＝CrCr6(ax)6x6－r， 2x?x???3

令6－r＝0，解得r＝4.

2

2

所以常数项为(－1)4a2C42. 6＝15a＝60，则a＝±

答案：D

n1n235．C1Cn等于( ) n＋2Cn＋4Cn＋…＋2

－

A．3n 3n

C.－1 2

B．2·3n 3n－1D.

2

10111n－1nnnn2322

解析：C1Cn＝(Cn＋2C1n＋2Cn＋4Cn＋…＋2n＋2Cn＋…＋2Cn)－＝(1＋2)－＝22223n－1. 2

答案：D

6．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( ) A．－80 C．40

B．－40 D．80

解析：因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C322＝－40， 5·x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C223＝80. 5·所以x3y3的系数为80－40＝40. 故选C. 答案：C

2

x＋2?(n∈N*)的展开式中，7．(2020·青岛质检)在?若二项式系数最大的项仅是第六项，x??则展开式中常数项是( )

A．180 C．90

B．120 D．45 n

解析：依题意，展开式共11项，所以n＝10. 25rrx＋2?展开式的通项Tr＋1＝Cr则?2·x5－. 10·x??25r

令5－＝0，所以r＝2.

2

所以展开式中的常数项T3＝C222＝180. 10·答案：A

8．(2020·衡水中学调研)(1＋x2)·1－A．－15 C．15

610

?

?

1?6

x?的展开式中，常数项为( )

B．16 D．－16

r

1?1?＝Crr－r1－?的展开式的通项为Tr＋1＝Cr解析：?x， 6－6(－1)·?x??x?令－r＝0，得r＝0；令－r＝－2，得r＝2.

0(－1)0＋C2(－1)2＝16. 所以展开式的常数项为C66

答案：B

b

ax2＋?的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________． 9．若?x??

6

26－r

解析：Tr＋1＝Cr6(ax)

?b?＝Cr6－rr12－3r

bx， 6a?x?r

33令12－3r＝3，则r＝3.所以C36ab＝20，即ab＝1.

所以a2＋b2≥2ab＝2，即a2＋b2的最小值为2. 答案：2

a?10．已知幂函数y＝x的图象过点(3，9)，则? ?x－x?的展开式中x的系数为________．

a

8

解析：由幂函数的图象过点(3，9)，可得a＝2. 2?2?－x?展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr则?8

?x??x?

8

8－r3－3

·(－x)r＝(－1)rCr28rxr－8，由r8·22

26

－8＝1，得r＝6，故含x的项的系数为C68×2×(－1)＝112.

答案：112

11．(2017·浙江卷)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．

解析：a4是x项的系数，由二项式的展开式得 a4＝C3C12＋C2C222＝16； 3·2·3·2·

a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C3C222＝4. 3·2·答案：16 4

a1

x＋??2x－?的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为________． 12.?x??x??解析：令x＝1，得展开式各项系数的和为(1＋a)·(2－1)5＝2， 所以a＝1.

11??r5－r5－2r

2x－?的展开式的通项公式为Tr＋1＝Crx＋因为二项式?(－1)·2·x，所以5

x???x?12－1?2x－1?展开式中的常数项为x·3(－1)3·22·Cx＋·C·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40. 5

x??x5

答案：40

13．(一题多解)(2020·广州模拟)(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是( )

A．5 C．15

B．10 D．20

5

55

解析：法一 因为(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，所以(2－1)(1＋a)5＝32，所以a＝1，因为(x＋1)5的展开式的通项为Tr＋1＝Crx5r，所以原多项式的展开式中x4的系数5·

4

是2×C15＋(－1)×C5＝5.

－

法二 因为(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，所以(2－1)·(1＋a)5＝32，所以a

＝1，因为(x＋1)5＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1，所以(2－x3)(x＋a)5的展开式中x4的系数是2×5＋(－1)×5＝5.

答案：A

14．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝( )

A．45 C．120

B．60 D．210

解析：在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Cm6，

m在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为CnCn4，故f(m，n)＝C6·4，

0211203所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝C36C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120.

答案：C

2＝2aa.15．(2019·江苏卷节选)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，n≥4，n∈N*，已知a324

则n＝________．

nn122解析：因为(1＋x)n＝C0n＋Cnx＋Cnx＋…＋Cnx，n≥4，

n（n－1）n（n－1）（n－2）所以a2＝C2，a3＝C3， n＝n＝26n（n－1）（n－2）（n－3）a4＝C4＝. n

24因为a23＝2a2a4，

n（n－1）n（n－1）（n－2）（n－3）n（n－1）（n－2）?所以?＝2××.

2246??解得n＝5. 答案：5

16．(2019·浙江卷)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

解析：由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝Cr(2)9r·xr，r∈N，0≤r≤9， 9·当为常数项时，r＝0，T1＝C0(2)9·x0＝(2)9＝162. 9·当项的系数为有理数时，9－r为偶数，

可得r＝1，3，5，7，9，即系数为有理数的项的个数是5. 答案：162 5

－

2