弹性力学简明教程（第四版） - 第八章 - 课后作业题答案

第八章 空间问题的解答

【8-1】 设有任意形状的等截面杆，密度为?，上端悬挂，下端自由，如题8-1图所示。试考察应力分量?x?0,?y?0,?z??gz,?yz?0,?zx?0,?xy?0是否能满足所有一切条件。

【解答】按应力求解空间问题时，须要使得六个应力分量在弹性体区域内满足平衡微分方程，教材中式（7-1）；满足相容方程，教材中式（8-13）；并在边界上满足应力边界条件，教材中式（7-5）。

（1）fx?fy?0,fz???g，很显然，应力分量满足如下的平衡微分方程

???x??yx??zx???fx?0，??y?z??x???y??zy???xy???fy?0，? ?x?y?z??????yz??z?xz???fz?0。?y?z???x（2）???x??y??z??gz，应力分量也满足贝尔特拉米相容方程

??2?2??1?????x??x2?0,???2??2??1?????y?2?0,?y???2?2??1?????z?2?0,?z???2??0,?1?????xy??x?y2?2??0, ?1?????yz??y?z2?2??0。?1?????zx??z?x2（3）考察应力边界条件：柱体的侧面和下端面，fx?fy?fz?0。在（x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（侧面方向余弦分别为n=0, l,m为任意的；在下端面方向余弦分别为n=-1, l=m=0），应用一般的应力边界条件，将应力和面力分

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量、方向余弦分别代入下式

??l?x?m?yx?n?zx??fx,s????l?xy?m?y?n?zy?s?fy, ?l??m?yz?n?z??fz。?s??xz直杆的侧面和下端的应力边界条件都能满足。因此，所给应力分量是本问题的解。

【8-8】扭杆的横截面为等边三角形OAB，其高度为ａ（题8-8图），取坐标轴如图所示，则AB，OA，OB三边的方程分别为x?a?0,x?3y?0,x?3y?0。试证应力函数

Φ?m?x?a?x?3y???x?B 3y

?能满足一切条件，并求出最大切应力及扭角。

【解答】（1）扭杆无孔洞，应力函数Φ显然满足侧面边界条件?Φ?s?0。由杆满足端部的边界条件，教材中式（8-18）得

y A O a C x 2??m?x?a?x?3yAa???x?4x?343ydxdy?M,?2m?0?a/3?a/3?x3?3xy2?ax2?3ay2?dxdy?M, 2m?a03?ax3?dx?M,积分求解得m??153M。 2a5（2）将Φ代入相容方程，教材中式（8-21）

?2???2GK, ??2?2?3303????2?2??x?3xy2?ax2?3ay2??4am??4M。?y?a??x2 再将m代入上式结果，得

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?153M 。Ga4303M??2GK, 4a得K?（3）由教材中式（8-15）求切应力分量得

?xz???453?M?x?a?y,5?ya

?yz????15322?M3x?2ax?3y。??5?x2a（4）由薄膜比拟法知，在扭杆的边界上，三个边的中点将发生最大剪应力，为方便计算，考虑C点：

?max???zy?x?a,y?0?（5）单位长度上扭角为

153M,2a3 ??zx?x?a,y?0?0。K??C153M ?。42GGa【8-10】设有一边长为a的正方形截面杆，与一面积相同的圆截面杆，受有相同的扭矩M，试比较两者的最大切应力和单位长度的扭角。

【解答】（1）根据教材中式（8-34）和式（8-35）可知任意矩形杆的最大切应力和扭转角的表达式，

?max?M,ab2?K?M,

ab3G?1对于边长为a的正方形截面杆，a?b,??0.208,?1?0.141。 将这些数值代入上式，得

?max?MM=4.808,ab2?a3K?MM ?7.092。ab3G?1a4G（2）根据教材中式（8-27）和式（8-28）可知椭圆截面杆的最大切应力和扭转角的表达式

??max22M?,2???aba??K??2?b?2?M?a?3b?3Ga 。对于面积为?a的圆截面杆，上式中a??b?=?。

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将这些数值代入上式，得

??max2M2?M?=,?a?b?2a3a???K?2?b?2?M?a?3b?3G=2?M 。a4G（3）比较两杆的最大切应力和单位长度的扭转角。

?max?1.3562,??maxK?1.1288。 K? 4