解析函数的构造及其在流体力学中的应用

第四章 在流体力学上的应用

平面向量场的相关概念：（苏）

（1）不可压缩流体：密度不因压力而改变的流体。

当空气流速不超过声速的0.6-0.8倍时，可视为不可压缩流体；

（2）平面流动：在流动中，垂直于某平面的每一垂线上所有各项质点的速度相同，且与此平面平行。当各质点的速度仅与其位置有关，而不随时间变化时，称其为平面稳定流动；

（3）稳定平面向量场：在平面稳定流动中，若对于某平面某区域D内的每一点，有一个方向和大小都不随时间变化的速度向量与它对应而形成的场；

（4）流量N：在区域D内任取一条简单曲线C，以C为准线，垂直于C的直线为母线，做一个高为1的柱面，单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流体质量；

当流体是不可压缩的，上述流量可以用所流过的流体在D上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向C的某一侧的流量为正，则流体向相反一侧流动的流量为负；

（5）环量?：单位时间内流体沿曲线C旋转了多少；

（6）无源无汇：若在区域D内任何部分，都无流体放出，也无流体吸入，则称D内流速场v既无源又无汇；

问题阐述：假定飞机以不变速度在填空飞行，其速度不超过音速的0.6?0.8倍。为了方便，把坐标系取在飞机上，此意味着对坐标系而言，飞机是不动的，而空气则冲向飞机而流动。离飞机很远处的空气的速度可以看成是不变的，把它算作是无穷远处的速度。设想机翼很长，并且考虑垂直机翼的诸平行平面与机翼相交的截面（记为机翼剖面）。只要这些截面离机身及翼端较远，就可以把它们看成是全等的，而且在它们所在的平面上，空气流动的情形也可看成是相同的，这样，在上述条件下，研究飞机飞行时围绕机翼的气流情况问题，就化为不可压缩流体的平面稳定流动问题。这一流动是无源无汇的，结合已知实验，这一流动也可看作是无旋的。

分析：取离机身及翼端较远的一个机翼剖面所在平面作为z平面，剖面边界是带有尖端点的一条简单闭曲线C，这时空气可以看做沿着曲线C流动，即气体质点沿着C运动，从而C是一条流线。只要知道了曲线C的形状以及气流在无穷

远处的速度，就可以再在曲线C的外部求出上述流动复势f?z?以及环量?，即

f?z?、?只与曲线C的形状、无穷远处的速度有关。

一：复环流：（路）

设C为平面上去定从A到B为正方向的简单逐段光滑曲线，在C上取弧微元ds，在其上任意一点作单位切向量?（与C正方向相同）以及单位法向量n（切

?向量右侧，?按顺方向旋转可得到n）

2dxdy???i；

dsdsn???e??i2??i??dydx?i； dsds设M处v?vx?ivy在?、n上的投影分为v?、vn，则

dxdy?vy； dsdsdydxvn?v?n?vx?vy；

dsds求通过ds的流量N v??v???vxdN??hvnds； 求通过ds的环量?

d???hv?ds

不妨设：h?1,??1；

以上流量与环量的正负取决于v与?、n的夹角，当夹角为锐角（钝角），环量、流量为正（负）

有: N??vnds???vydx?vxdy;???v?ds??vxdx?vydy;

CCCC称P???iN为曲线C上的复环流，P???vx?ivy??dx?idy???v?z?dz

CC称v?vx?ivy为复速度，因此C上的复环流是复速度的共轭沿C的积分； 设z0?G,z0有限或为?，作z0任意充分校的领域B?z0?，边界为C，取C关于B?z0?的正向，以N?0,N?0,??0分别称z0为源点、汇点、涡点，其共性为复还流非0；

在G中除去上述点得一区域D，称D为无源、无汇、无旋域；因对D内任意封闭光滑曲线C，若C?0,就有P??v?z?dz=0，由Morera定理得：v?z?是D内

C

解析函数。此意为：不可压缩流体作无源、无汇、无旋定常平面流动时的特征是：任意作D内同伦于零的封闭曲线，其复还流为0，且复速度之共轭为区域D内的解析函数；

二：复势：

设区域D存在函数f?z?，使f??z??v?z?，称f?z?为流动的复势；按定义，作为复势的函数其导数必须是单值的，记f?z????x,y??i??x,y?，??x,y?、

??x,y?分别为势函数（速度势）和流函数；

??x,y??常数，??x,y?=常数

分别称为等势线和流线；在v?0处，f??z??0，从而等势线与流线是正交的。而每点的速度在流线的切向上，从而流线是质点运动的轨迹。

流动速度v?f??z?，即v?f??z?，argv??argf??z? 三：圆盘绕流：（最简单情况）

设圆盘静止不动，横截面z?1，边界为C,设流体是不可压缩的无源、无旋定常平面流动，流体在无穷远处的速度为???0。因为流体不会离开C，故C为流线，现求流动复势f?z?使得在C的环量为?。

f??z??v?z?在z?1解析，在z?1上连续（因速度是连续的），因

f???????，则在C外部有洛朗展式：

f??z??????c?n nn?1zc?2c?3??... z2z2?积分后去掉不影响流动的常数项后有：f?z????z?c?1logz?设C1为z?R??1?,由多连通区域的柯西定理及复环流的定义，有

C?f??z?dz??f??z?dz?2?icC1n0?1?PC??C?iNC??，（其中

C??z?z?dz?0,n?1??；z0为不解析点）, NC?0,表示没有流体出入，于是2?i,n=1?c?1??； 2?i

f?z????z?cc?logz??2??32?... 2?iz2z?logz,显然2?i因C为流线，当z?C时，Imf?z??常数m，令F?z??f?z??F?z?具有与f?z?相同的解析与连续性质，且当z?C时，ImF?z??常数m;由解析开拓定理得：F?z?可开拓到0?z?1，于是当0?z??时，

有F?z????z?c?2c?3?2?... z2z考虑在z?1上，令z?ei?，c?n?a?n?ib?n（n?2,3...），按虚部对应整理带入后的等式，有m?b?2cos??????a?2?sin??b?3acos2???3sin2??...?0 22由傅里叶展式的唯一性得：m?0,b?2?0,a?2????,a?n?b?n?0,?n?3?

??logz?? 2?iz?1???则v?z??f??z????? 2?izz2?z????0的点，根据一元二次函数的求根先求??0的点，即满足??z2?2?i公式得：

所以f?z????z?????2????4????i?2?i?2?i?z??2??2?4??????24???2

?z????0，两边同乘2?i当??4???时，此时z?1，设z?ei?，代入??z2?以z，化简得：??4???sin?；由此可确定满足上式的?1,?2，z1?ei?1（?1??2），

，为临界点。当z1?z2时，流向z2的流线经z2后分成两条，z2?ei?2（?2????1）

分别沿上、下圆周流动然后在z1处回合；当z1?z2时则合二为一。

???2??4????4???2当??4???时，临界点在虚轴上，z?，两个点的积为1，一个点在圆外。一个点在圆内（事实证明不存在）；