奥数数论专题-奇偶性质数合数

奇偶数、质数、合数练习

1：两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少？ 【详解】39=2+37，乘积为2*37=74

2：7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？

【详解】已知：有7个连续质数且和为偶数

假设这些素数全是奇数，那么和也是奇数！不符合题意 质数只有2是

偶数，所以一个偶数，六个奇数，和为偶数， 符合题意，这些素数是：17，13，11，7，5，3，2 所以c 为11

3：自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？

【详解】满足个位数字与十位数字都是质数，只能是2、3、5、7这4个数字组成，这样的两位自然数共有5个，23、37、53、57、73

4： 若两位数ab、ba都是质数，我们称它为“无暇质数”。所有两位“无暇质数”的和等于多少？ 【详解】“无暇质数”共9个11，13，31，17，71，37，73，79，97． 他们的和是429

5：将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？（如果要求质数尽可能大呢？） 【详解】7+7+7+7+7+5+5+5+5+5=60

60/10=6，10个数的平均数是6，所以至少有一个数大于等于6。6不

是质数，7是最小的大于6的质数。

6：用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个质数？ 【详解】1+2+...+9=(9+1)*9/2=45能被9整除

不论数字怎么排列都能被9整除，所以9个数字排列一个质数也没有；

7：哥德巴赫猜想是说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和，问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1？

【详解】个位数字是1的两位质数有11，31，41，61，71；其中168－11=157，168－31=137，168－41=127，168－61=107，都不是两位数，只有168－71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97

7：两个连续奇数的乘积是111555，这两个奇数之和是多少?

【详解】设这两个连续奇数是2n-1和2n+1，(2n-1)(2n+1)=4 ｎ-1=111555

4ｎ=111556=３３４，2n=334（或-334），(2n-1)+(2n+1)=4n=668

２２２8：三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数。 【详解】abc=11(a+b+c)

因为a,b,c都是质数，而右边的乘积中有11，也是质数 所以a,b,c中

必有一个数是11， 不妨设a=11 化简上式，得到 bc=11+b+c

b=(11+c)/(c-1)=1+12/(c-1) c从最小的质数2开始验证 当c=2，b=13，已经得到结论，所以这三个数是2，11，13

9：从小到大写出5个质数，使后面的数都比前面的数大12.

【详解】 我们知道12是2、3的倍数，如果开始的质数是2或3，那么 即 与12的和一定也是2或3的倍数，将是合数，所以从5开始尝试。 有5、17、29、41、53是满足条件的5个质数。

10：求这样的三个不同的正整数，它们两两互质，且任意两数之和能被第三个数整除。

11：四个连续奇数的最小公倍数是6435，这四个数中最大的一个数是多少？ 【详解】三个连续奇数必两两互质．而在四个连续奇数中，第一个奇数与第四个奇数相差6，它们的最大公约数只能是1或3，因此这四个连续奇数的乘积是6435或6435*3；6435=3*3*5*11*13，由此判断出这四个连续奇数是9，11，13，15，其中最大的是15

12：有1997个奇数，它们的和等于它们的乘积。其中有三个数不是1，而是三个不同的质数。这三个质数是？

【详解】设这3个不同的质数分别是a，b，c 根据题意 abc=1994+a+b+c 这3个质数不可能都很大，假如最小的是11的话，那么11*13*17=2431,太大了； 所以a，b，c中一定有一个是3，5，7中的

若a=3，那么3bc=1997+b+c,c=(1997+b)/(3b-1)

试验一下发现b=5可以使c是整数，c=143，但143不是质数，b=7，11，13都不行 那么我们不妨再让a=5，那么5bc=1999+b+c c=(1999+b)/(5b-1) b=7时 算得c=59，是质数，符合要求 因此a=5，b=7，c=59为满足条件的三个质数。

13：有人说：“任何7个连续整数中一定有质数”，请你举一个例子，说明这句话是错的。

【详解】 例如连续的7个整数：842、843、844、845、846、847、848分别能被2、3、4、5、6、7、8整除，也就是说它们都不是质数。

评注：有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是??，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，?，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被2、3、4、?、(n+1)整除，它们是连续的n个合数

14：写出12个都是合数的连续自然数。

【详解】分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，

把考查的范围扩大一些就行了。 解法1：用筛选法可以求得在113与127之间共有12个都是合数的连续自然数： 114，115，116，117，118，119，120， 121，122，123，124，125，126。 分析二：如果12个连续自然数中，第1个是2的倍数，第2个是3的倍数，第3个是4的倍数??第12个是13的倍数，那么这12个数就都是合数。

又m+2，m+3，?，m+13是12个连续整数，故只要m是2，3，?，13的公倍数，这12个连续整数就一定都是合数。 解法2：设m为2，3，4，?，13这12个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，?，m+13分别是2的倍数，3的倍数，4的倍数??13的倍数，因此12个数都是合数。 说明:我们还可以写出 13！+2，13！+3，?，13！+13

（其中n！=1×2×3×?×n）这12个连续合数来。 同样，（m+1）！+2，（m+1）！+3，?，（m+1）！+m+1是m个连续的合数。 15：将100以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下5项工作叫做一次操作：（1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；（3）划去这些两位数中的合数；（4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去；（5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。问：经过1999次操作，所得的数字串是什么？

【详解】第1次操作得数字串711131131737；第2次操作得数字串11133173；第3次操作得数字串111731；第4次操作得数字串1173；第5次操作得数字串1731；第6次操作得数字串7311；第7次操作得数字串3117；第8次操作得数字串1173。不难看出，后面以4次为周期循环，1999=4×499+3，所以第1999次操作所得数字串与第7次相同，是3117

16：9个连续的自然数，它们都大于80，那么其中质数最多有多少个?

【详解】 大于80的自然数中只要是偶数一定不是质数，于是奇数越多越好，9个连续的自然数中最多只有5个奇数，它们的个位应该为1，3，5，7，9，但是大于80且个位为5的数一定不是质数，所以最多只有4个数