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第六章习题答案
复习题A
1. 求由下列曲线围成的平面图形的面积： （1）y?2x2?3x?5及y?1?x2；
1（2）y?及直线y?x,x?2；
x（3）y?ex,y?e?x与直线x?1；
（4）y?lnx,y轴与直线y?lna,y?lnb(b?a?0). 解：（1）两曲线交点为(?2,?3)和(1,0)，所求面积为
S??[(1?x2)?(2x2?3x?5)]dx?2113 ??[6?3x?3x]dx?(6x?x?x3)?221??y?（2）如图，解方程组?x，得交点(1,1)，
??y?x21?2?13.5
所求面积为
A?? (3) S
211x232(x?)dx?[?lnx]1??ln2.
x22e
e??lnxdx?x(lnx?1)1?1
1(4) 选为y积分变量，如图，所求面积为
bA??eydy?[ey]lnlna?b?a
lnalnb
1
2. 求二曲线r?sin?与r?3cos?所围公共部分的面积. 解：当?等于0和
π时，两曲线相交， 3yθ?π3所围公共部分的面积为
1π1π23A??sinθdθ??π23cos2θdθ2023?5π3?244x.
O3. 求由下列曲线围成的图形绕指定轴旋转而形成的旋转体的体积： （1）y2?2px,x?a,y?0(p?0,a?0)；绕x轴
1（2）y?lnx,y?0,1?x?e;绕x轴
x（3）y?x2,x?y2;绕y轴
（4）y?x3,x?2,y?0；绕x轴和绕y轴 解：（1）Vx???2pxdx??px20aa0??pa2
e1212 lnxdx???lnxd?11x2xe11e???(ln2x1?2?2lnxdx)1xxe112e???(?lnx1?2?2dx)
1xex32e????(?1)?(2e?5)exe （3）两曲线的交点为(0,0)和(1,1)，所求旋转体体积为
11113Vy???ydy???y4dy??(y2?y5)1?? 0002510 （4）如图，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为
（2）Vx???e 2
2211282Vx??πy2dx??πx6dx?[πx7]0?π
0077绕y轴旋转所得的旋转体的体积为.
Vy?2?π?8??πxdy?32π?π?ydy
00282223364?32π?[πx3]8?π 0554、有一立体，以长半轴a?10、短半轴b?5的椭圆为底，
而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积. 解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为
5x2y2?2?1 2105垂直于x轴的截面为等边三角形， 对应于x的截面的面积为
yobA(x)?3(102?x2) 4xax
于是所求立体体积为
V??10?10332x310322(10?x)dx?[10x?]?10??103 44335、计算曲线y?lnx相对应于x?解：由弧长的公式得:
3到x?8的一段曲线弧长.
s??831?y?dx??283281?x1131?2dx??dx?1?ln.
3x22x6、计算???1相应于自??解：由弧长的极坐标公式得:
34
到??的一段弧长. 43
3
s??4334?(?)???(?)d???224334()?(?121??)d???2243341?21??2d??53?ln. 122kx，其中k为常akx，其中ka7、设把一金属杆的长度由a拉长到a?x时，所需的力等于数，试求将该金属杆由长度a拉长到b所作的功.
解：由于金属杆拉长所需的力f与拉长的长度成正比x，且f?为常数。选择金属杆拉长的长度x为积分变量，其取值范围为?0,b?a?，对于任意x??0,b?a?，在拉长的长度区间?x,x?dx?上，功元素为
dW?fdx?kxdx，于是 ab?aW??
0kxkb?ak?x2?dx??xdx???aa0a?2?0b?ak(b?a)2?。
2a8.一个底半径为Rm，高为Hm的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为103kg/m3,g取10m/s2）？ 解：建立如图坐标系. 取x为积分变量,
O x x?dx x?[0,H], 任取子区间[x,x?dx]?[0,H]，
相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为
dW?πRdx??水g?x, 于是，把桶内的水全部吸出，需做功
2y
(H,R) x 4
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